QR 分解

形式陈述 ​

设 $A\in {\mathbb{F}}^{m\times n}$ 且 $m\ge n$。经济型 QR 分解写作

$$A=QR,Q\in {\mathbb{F}}^{m\times n},Q^{\ast }Q=I_n,R\in {\mathbb{F}}^{n\times n}\text{上三角}.$$

完整 QR 则把 $Q$ 补成 $m\times m$ 酉矩阵，并把 $R$ 扩为 $m\times n$，其底部 $m-n$ 行为零。两种形式表达同一列空间，但维度不同；公式出现 $Q^{\ast }b$ 或 $Q{Q}^{\ast }$ 时必须先说明采用哪一种。

每个 $m\ge n$ 的矩阵都有 QR 分解。若 $A$ 满列秩，则 $R$ 对角元均非零；再约定实情形 $r_{ii}>0$，或复情形将对角相位固定为正实数，可得到经济型分解的唯一性。秩亏时仍能分解，但 $R$ 会奇异，唯一性消失。

稠密数值计算通常用Householder 反射公理库Householder 反射Householder reflection · Householder transformation用一个向量紧凑表示酉反射，把整段向量化到单一坐标方向，并作为稳定 QR 的基本原语。。第 $k$ 步对 $A_{k:m,k}$ 构造反射，左乘后把对角线下方元素清零；一串反射向量隐式表示 $Q$，尾部更新最终产生 $R$。实 $m\times n$ 矩阵的分解主成本约为

$$2m{n}^2-\frac{2}{3}{n}^3$$

次浮点运算，存储可覆盖原矩阵的下三角区域。若第 $k$ 步生成反射 $H_k$，则 $Q^{\ast }=H_r\cdots H_1$；计算 $Q^{\ast }b$ 时按生成顺序把 $H_1,H_2,\dots ,H_r$ 依次作用到 $b$，无须显式形成 $Q$。

输入是矩阵和可选的列置换策略，输出是反射向量、$R$ 与置换信息。完成时应核对

$$\frac{\Vert A-QR\Vert }{\Vert A\Vert },\Vert Q^{\ast }Q-I\Vert ,$$

并结合 $R$ 对角或秩揭示信息判断数值秩。Householder QR 是后向稳定的标准稠密路线；classical Gram–Schmidt 在近相关列上可能严重丢失正交性，modified Gram–Schmidt 通常更好，但不能无条件替代 Householder 的稳定性保证。

直觉 ​

$Q$ 只负责重新选择一组不会放大 $2$-范数的正交坐标，$R$ 则记录原列怎样在这些坐标中逐层展开。于是矩阵列之间难以直接观察的几何关系，被组织成“正交方向加三角依赖”；求解和投影随后都能沿三角结构完成。

经济型 $Q$ 只保存列空间需要的 $n$ 个方向，完整 $Q$ 还包含列空间正交补的 $m-n$ 个方向。默认保存后者往往只是浪费；但若问题确实需要完整正交基，补全才有意义。

例子与边界 ​

取

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

一个经济型分解为

$$Q=\left(\begin{array}{cc}1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{3}& 0\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& \sqrt{3}\\ 0& \sqrt{2}\end{array}\right).$$

$Q$ 是 $3\times 2$ 而非方阵，却仍满足 $Q^{\ast }Q=I_2$；$Q{Q}^{\ast }$ 则是到 $A$ 列空间的投影，不等于 $I_3$。

若两列相同，第二个新方向为零，$R$ 的第二个对角元也为零。浮点中“恰好为零”会变成“相对矩阵尺度很小”，数值秩因此需要容差与噪声模型，不能把一个固定阈值写成数学唯一常数。

列主元 QR 写成 $AP=QR$，通过优先处理较显著、较独立的列改善秩判断；求得参数后必须撤销 $P$。平面旋转更适合只消去少数元素、维护稀疏结构或更新已有分解，但对一般稠密整列消去，Householder 是默认原语。

推论与应用 ​

Gram–Schmidt公理库Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。给出 QR 的构造性几何证明，本页集中 full/economy 维度、Householder 实现、成本和有限精度差异。把 classical Gram–Schmidt 当作默认数值 QR，会把精确算术等价误写成稳定性等价。

满列秩最小二乘可在 QR 坐标中化为上三角系统；特征值 QR 算法和 Hessenberg 化也复用正交变换。使用成熟 LAPACK 接口时，分解、显式生成 $Q$、应用 $Q$ 是不同操作，应只调用实际需要的部分。

参考资料

• Lloyd N. Trefethen and David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, Lectures 7–10.
• Nicholas J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd ed., SIAM, 2002, Ch. 19.
• LAPACK Users’ Guide, QR Factorization.