换基与坐标变换

对象没有改变，改变的只是坐标语言；相似不变量正是不会随语言改变的结构。同一向量在不同基下拥有不同坐标，同一线性算子公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。也因此拥有不同矩阵。换基矩阵不是在移动几何对象，而是在翻译坐标语言；相似变换恰好表达“先翻译到旧坐标、执行算子、再翻译回来”。方向约定一旦混淆，公式中的 $P$ 与 $P^{-1}$ 就会整体颠倒。

换到特征向量基可得到对角矩阵。设新基 $B^{\prime }=\{(1,1),(1,-1)\}$，以列向量组成 $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。若 $[v{]}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{d}}=P[v{]}_{B^{\prime }}$，则 $[v{]}_{B^{\prime }}=P^{-1}[v{]}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{d}}$；过渡矩阵的方向一旦写反，$P$ 与 $P^{-1}$ 也会随之颠倒。对端同态 $T$，新矩阵为 $P^{-1}AP$；对 $V\to W$ 的一般映射，两端基不同，公式应为 $Q^{-1}AP$，不能误写成单一相似变换。

基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。把抽象空间坐标化，矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。则记录映射在这些坐标中的作用。迹、行列式、特征多项式和秩在相似变换下不变，因此是真正的坐标无关算子不变量；对角化与 Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。 的目标就是选择最能显露结构的基。非正交过渡矩阵可能因自身病态而放大坐标误差，正交或酉换基则保持二范数；QR 分解公理库QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。构造这种正交坐标，Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。用酉相似在不依赖特征向量基条件性的前提下揭示谱结构。