形式陈述

若 $\mathcal{B},\mathcal{C}$ 是同一有限维空间的基，则存在可逆矩阵 $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 使 $[x{]}_{\mathcal{C}}=P[x{]}_{\mathcal{B}}$。同一算子在两基下的矩阵满足 $A_{\mathcal{C}}=P{A}_{\mathcal{B}}{P}^{-1}$。

直觉

对象没有改变，改变的只是坐标语言；相似不变量正是不会随语言改变的结构。

例子与边界

换到特征向量基可得到对角矩阵。过渡矩阵方向容易写反；一般 $V\to W$ 映射两端要分别换基，公式不是单一相似变换。

推论与应用

解释迹、行列式、特征多项式和秩为何是坐标无关不变量。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), matrices of maps.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), change of basis.