换基与坐标变换

换基是在两套坐标语言之间翻译同一个向量。把 $x$ 分别沿两组基展开，得到的系数通常不同；过渡矩阵连接这两组系数，而 $x$ 的几何位置保持不变。

算子矩阵需要翻译两次。给定新坐标，先用 $P^{-1}$ 翻译成旧坐标，再执行旧矩阵 $A_{\mathcal{B}}$，最后用 $P$ 翻译回来。矩阵从右往左作用，因而得到 $P{A}_{\mathcal{B}}{P}^{-1}$；三个因子分别对应这三步。

令 $\mathcal{E}$ 为实平面标准基，$\mathcal{C}=((1,1),(1,-1))$。新基向量按列排成

因此 $v=(3,1)$ 的新坐标是 $S^{-1}(3,1{)}^{\mathsf{T}}=(2,1{)}^{\mathsf{T}}$，确实有 $v=2(1,1)+(1,-1)$。这里 $S$ 的方向与形式陈述中的 $P$ 相反，所以新矩阵写成 $S^{-1}{A}_{\mathcal{E}}S$。

取 $T(x,y)=(y,x)$，旧矩阵为 $A_{\mathcal{E}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。新基的两个向量分别被乘以 $1,-1$，于是

这组基沿两个特征方向选取，使交换坐标的变换变成各坐标分别乘以 $1,-1$。一般地，能够选出一组特征向量基，正是算子可以对角化的条件。

对一般映射 $T:V\to W$，输入、输出可以独立选基。设 $S$ 把新输入坐标转为旧输入坐标，$R$ 把新输出坐标转为旧输出坐标，则 $A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=R^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}S$。这两个空间可以维数不同，矩阵也可以是长方形。

双线性形式的坐标公式是 $b(x,y)=[x{]}^{\mathsf{T}}G[y]$。两处坐标都代入 $[x{]}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}=S[x{]}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}$ 后，得到 $G_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=S^{\mathsf{T}}{G}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}S$。这里两端都是形式的输入，因而出现转置，而不是逆矩阵。

同一算子的不同矩阵彼此相似。迹、行列式、特征多项式和秩因而不随基改变；Jordan 标准形理路Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。通过特定的基展示特征值及广义特征向量链。一般映射独立改变两端基时，秩仍然保持，因为可逆的坐标变换保持像空间的维数。

坐标翻译的相对误差放大量由过渡矩阵的条件数衡量。正交或酉过渡矩阵保持二范数；非正交基若几乎线性相关，求逆可能把很小的扰动放大。QR 分解理路QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。构造正交坐标，而Schur 分解理路Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。用酉相似把复矩阵化为上三角形，在保持二范数的坐标中展示特征值。