线性无关

线性无关表示没有一个方向能由其他方向线性合成，因此表示坐标时不会产生冗余。相关关系就是一份“不同组合得到同一结果”的证据。线性无关意味着没有一个向量能由其余向量线性解释，也意味着零向量只有平凡表示。它衡量生成信息是否含冗余，而不是向量之间是否几何正交；正交非零组必无关，但无关组可以夹角很小。无关性依赖底域，扩域后可能出现新的系数关系。

标准向量 $e_1,\dots ,e_n$ 在 $F^n$ 中线性无关。任何含零向量的非空向量组都相关，因为 $1\cdot 0=0$ 给出非平凡关系；空族则按定义线性无关。两个非零向量相关，当且仅当其中一个是另一个的标量倍数。在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，$e_1,e_2,e_1+e_2$ 相关，因为 $e_1+e_2-(e_1+e_2)=0$；$e_1,e_2,e_3$ 无关。把实数 $1,i$ 看作 $\mathbb{R}$ 上的向量时它们无关，但在 $\mathbb{C}$ 上相关，因为 $i\cdot 1-1\cdot i=0$。

线性无关控制表示唯一性：若一族同时张成空间公理库线性组合与张成Linear combination and span有限标量加权和及由给定向量生成的最小子空间。且线性无关，每个向量有唯一有限坐标。交换引理说明有限生成空间中，独立组大小不超过任一生成组大小，从而奠定维数定义。线性无关组可延拓为基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。，张成集则可抽取出基。矩阵列无关等价于相应线性映射单射，并可通过行化简公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。检验；浮点数据中“几乎相关”没有纯代数阈值，SVD公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。按奇异值与给定容差组织数值秩，不能反过来改写本页的精确无关性。若只保留哪些列子集无关，就得到可表示拟阵公理库可表示拟阵Representable matroid · Linear matroid能由某个域上矩阵列向量的线性无关关系实现的拟阵。。