形式陈述

向量族 $(v_i)_{i\in I}$$(v_i{)}_{i\in I}$ 线性无关，若对任意有限子集 $J\subseteq I$$J\subseteq I$ 与标量 $(a_j)_{j\in J}$$(a_j{)}_{j\in J}$，

$$ \sum_{j\in J}a_jv_j=0 \quad\Longrightarrow\quad \forall j\in J, \ a_j=0. $$$$\sum _{j\in J}{a}_j{v}_j=0⟹\mathrm{\forall }j\in J,a_j=0.$$

若存在非全零的有限系数关系得到零向量，则线性相关。有限向量组 $v_1,\ldots,v_m$$v_1,\dots ,v_m$ 无关，等价于每个 $v_k$$v_k$ 都不在其余向量的张成中。

直觉

线性无关表示没有一个方向能由其他方向线性合成，因此表示坐标时不会产生冗余。相关关系就是一份“不同组合得到同一结果”的证据。

例子与边界

标准向量 $e_1,\ldots,e_n$$e_1,\dots ,e_n$ 在 $F^n$$F^n$ 中线性无关。任何含零向量的非空向量组都相关，因为 $1\cdot0=0$$1\cdot 0=0$ 给出非平凡关系。空族按定义线性无关。两个非零向量相关当且仅当其中一个是另一个的标量倍数。

推论与应用

线性无关控制表示唯一性：若一族同时张成空间且线性无关，每个向量有唯一有限坐标。交换引理说明有限生成空间中，独立组大小不超过任一生成组大小，从而奠定维数定义。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§2A。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 3。