线性组合与张成

线性组合允许从有限多个给定方向按任意标量加权后相加，张成则收集所有可能的这种组合，是给定集合在“线性运算”下的闭包。换句话说，它是包含该集合的最小子空间：任何包含这些向量的子空间，都必须连同所有线性组合一起包含。限制为有限和十分关键，即使生成集合无限，代数张成也不自动加入极限。

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，$(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$ 张成 $xy$ 平面。即使 $S$ 是无限集，每个具体线性组合仍只使用有限多个元素；允许真正的无穷和需要拓扑和收敛结构，不能由纯代数张成定义替代。在多项式空间 $P_2(\mathbb{R})$ 中取

任意线性组合为

所以一个多项式 $c_0+c_{1}x+c_2{x}^2$ 属于它们的张成，当且仅当 $c_1=c_0+c_2$。例如$1+2x+x^2$ 在其中，而 $x$ 不在其中。这个计算也展示了“属于张成”本质上是一组关于系数的线性方程；生成元数目为二并不自动保证它们线性无关，若把 $p_2$ 换成 $2p_1$，张成会退化为一维。

判断一个向量是否位于张成中等价于求解线性方程组，算法上可用行化简完成。线性无关公理库线性无关Linear independence只有全零系数能产生零向量的向量组。排除表示冗余，与张成合起来定义 基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。；移除冗余生成向量便可得到更小的生成集。张成还用于构造 线性子空间公理库线性子空间Linear subspace · Vector subspace在原向量运算下封闭、因而自身构成向量空间的非空子集。与矩阵列空间；Krylov 子空间公理库Krylov 子空间Krylov subspace · Arnoldi iteration · Lanczos iteration从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。则是从一个向量出发，把 $A$ 反复作用所得的 $r_0,A{r}_0,\dots$ 纳入同一张成空间。