线性组合与张成

先给定材料，再允许任意缩放和相加，就得到线性组合。在实坐标空间里，可以把材料看成位移：系数为负表示反向移动，系数为零表示这次不用该方向。张成收集所有可能的终点；它不是某一次选系数所得的单个向量。

这里没有限制系数的正负或总和。例如从两个向量 $u,v$ 出发，$2u-3v$ 也是允许的结果。凸组合要求系数非负且和为一，仿射组合只要求和为一；把这些限制加入后，得到的集合一般不再是线性子空间。

张成关心能够到达哪些向量，并不要求到达方式唯一。加入一个已有方向的倍数不会扩大张成，却可能让同一个向量拥有更多套系数。这将“生成能力”和“表示冗余”分成了两个问题。

多项式也能按方向组合 ​

在 $P_2(\mathbb{R})$ 中取 $p_1=1+x$、$p_2=x+x^2$。由于

要判断目标 $c_0+c_{1}x+c_2{x}^2$ 能否生成，就逐项比较系数：常数项要求 $a=c_0$，二次项要求 $b=c_2$，此时一次项已被迫等于 $c_0+c_2$。因此可生成的充要条件是 $c_1=c_0+c_2$；满足条件时取 $a=c_0,b=c_2$ 即可，条件不满足时也没有别的系数可以补救。所以 $1+2x+x^2=p_1+p_2$ 在其中，而 $x$ 不在其中：它要求 $a=b=0$，却又要求 $a+b=1$。若把第二个生成元换成 $2p_1$，任意组合都只是 $(a+2b)p_1$，张成便退化为一维。

在坐标空间中同样如此：$(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$ 的组合是 $(a,b,0)$，恰好覆盖 $xy$ 平面，无法产生第三坐标非零的向量。

底域与有限性不能省略 ​

把 $\mathbb{C}$ 看成实向量空间时，${\mathrm{span}}_{\mathbb{R}}\{1\}=\mathbb{R}$；看成复向量空间时，${\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{1\}=\mathbb{C}$。同一个生成集合在不同标量域上可能给出不同答案。

在所有实数序列组成的向量空间中，令 $e_n$ 为仅第 $n$ 项为 $1$ 的序列。无限集合 $\{e_1,e_2,\dots \}$ 的代数张成仍只包含有限支撑序列，因而 $(1,1,1,\dots )$ 不在其中。若另外指定逐坐标收敛拓扑，前 $N$ 项为 $1$ 的序列却收敛到它；这说明闭线性张成还加入极限，不能与代数张成混用。

把有限个坐标向量作为矩阵 $A$ 的列，则 $b\in \mathrm{span}\{v_1,\dots ,v_m\}$ 恰好等价于 $Ac=b$ 有解，行化简理路行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。由此提供成员判定。解是否唯一则由线性无关理路线性无关Linear independence只有全零系数能产生零向量的向量组。决定；兼具张成与线性无关的列表就是基理路向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。。

对有限生成集，若某个向量已在其余向量的张成中，删掉它不会改变张成。不断删去这种冗余即可得到基。Krylov 子空间理路Krylov 子空间Krylov subspace从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。进一步选取 $r_0,A{r}_0,\dots ,A^{m-1}{r}_0$ 作为生成向量，将矩阵反复作用所得的信息限制在一个可计算的低维空间中。