形式陈述

设 $V$$V$ 为域 $F$$F$ 上的向量空间。向量 $v_1,\ldots,v_m\in V$$v_1,\dots ,v_m\in V$ 的线性组合是

$$ a_1v_1+\cdots+a_mv_m, \qquad a_i\in F. $$$$a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m,a_i\in F.$$

对任意子集 $S\subseteq V$$S\subseteq V$，其张成定义为所有来自 $S$$S$ 的有限线性组合：

$$ \operatorname{span}S =\left\{\sum_{i=1}^m a_iv_i: m\ge0,\ a_i\in F,\ v_i\in S\right\}. $$$$\mathrm{span}S=\{\sum _{i=1}^m{a}_i{v}_i:m\ge 0,a_i\in F,v_i\in S\}.$$

空和为 $0$$0$，故 $\operatorname{span}\varnothing=\{0\}$$\mathrm{span}\varnothing =\{0\}$。$\operatorname{span}S$$\mathrm{span}S$ 是包含 $S$$S$ 的最小子空间。

直觉

线性组合允许从有限多个给定方向按任意标量加权并相加。张成收集所有可由这些方向合成的向量，是它们在“线性运算”下的闭包。

例子与边界

在 $\mathbb R^3$${\mathbb{R}}^3$ 中，$(1,0,0)$$(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$$(0,1,0)$ 张成 $xy$$xy$ 平面。即使 $S$$S$ 是无限集，每个具体线性组合仍只使用有限多个元素；允许真正的无穷和需要拓扑和收敛结构，不能由纯代数张成定义替代。

推论与应用

判断一个向量是否位于张成中等价于求解线性方程组。张成用于定义生成集、基、循环子空间与矩阵列空间；移除冗余生成向量可得到更小的生成集。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§1B。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 3。