正交规范基

正交规范基把坐标轴调整为彼此垂直且长度为一：正交性消除方向间干扰，归一化消除尺度因子。一般基需要解线性方程组才能取得坐标，正交规范基却让第 $i$ 个坐标直接由 $⟨e_i,v⟩$ 读出。若把 $v$ 想成一段信号，这个内积就是信号沿方向 $e_i$ 的分量；所有分量的能量相加，恰好还原原向量的平方范数。

标准基是 ${\mathbb{R}}^n$ 与 ${\mathbb{C}}^n$ 的正交规范基。在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，$u_1=(1,1)/\sqrt{2}$、$u_2=(1,-1)/\sqrt{2}$ 也构成正交规范基，任意 $v$ 满足

例如 $v=(3,1)$ 时，两个系数分别为 $2\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$，代回便得到 $(3,1)$。在复空间中槽位差异会真正显现：若 $e=(1,0)$、$v=(i,0)$，则正确系数 $⟨e,v⟩=i$，而 $⟨v,e⟩=-i$。

正交但非单位的向量仍需除以自身范数才能归一化；两两正交的向量族若含零向量，便不能成为正交规范组。无限维时，“完备”只保证有限线性组合在空间中稠密，不保证每个向量本身是有限和；因此 Fourier 展开属于范数收敛的 Hilbert 空间展开，不是 Hamel 坐标。

Gram–Schmidt 正交化公理库Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。从线性无关组构造正交规范组，正交投影公理库正交投影Orthogonal projection把向量映到子空间上最近点并使误差与子空间正交的线性算子。则把这些坐标分量加回目标子空间。正交或酉坐标变换保持二范数，因此坐标误差不会被换基本身放大；QR 分解公理库QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。用这种基组织列空间，Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。则用酉基把一般方阵化为上三角谱结构。Fourier 展开把函数投到一族正交频率上；有限维 谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。为正规算子选择正交规范特征基，SVD 也借两端的正交坐标分离方向。