形式陈述

内积空间中，若 $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$，则 $(e_i)$ 为正交规范组；若同时张成全空间，则为正交规范基。此时 $v=\sum _i⟨v,e_i⟩e_i$，且 $\Vert v{\Vert }^2=\sum _i|⟨v,e_i⟩{|}^2$。

直觉

一般基需要解线性方程取坐标，正交规范基让坐标直接由内积读取。

例子与边界

标准基是 ${\mathbb{R}}^n$ 的正交规范基。正交但非单位向量仍需除以平方范数；无限维 Hilbert 空间的“基”还要区分代数基与 Hilbert 基。

推论与应用

支撑 Fourier 展开、正交投影、谱定理、QR 与 SVD。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), orthonormal bases.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), orthogonality.