正交规范基

正交规范基把坐标轴调整为彼此垂直且长度为一：正交性消除方向间干扰，归一化消除尺度因子。一般基需要解线性方程组才能取得坐标，正交规范基却让第 $i$ 个坐标直接由 $⟨e_i,v⟩$ 读出。若把 $v$ 想成一段信号，这个内积就是信号沿方向 $e_i$ 的分量；所有分量的能量相加，恰好还原原向量的平方范数。

标准基是 ${\mathbb{R}}^n$ 与 ${\mathbb{C}}^n$ 的正交规范基。在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，$u_1=(1,1)/\sqrt{2}$、$u_2=(1,-1)/\sqrt{2}$ 也构成正交规范基，任意 $v$ 满足

例如 $v=(3,1)$ 时，两个系数分别为 $2\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$，代回便得到 $(3,1)$；平方和 $8+2=10$ 也正好等于 $\Vert v{\Vert }^2$。在复空间中，若 $e=(1,0)$、$v=(i,0)$，系数 $⟨e,v⟩=i$ 给出 $v=ie$；反向配对 $⟨v,e⟩=-i$ 则是这一系数的共轭。

任何两两正交的非零向量组，都可以逐个除以自身范数来归一化。在线性无关性上，正交规范组还有直接判据：若一个有限线性组合为零，依次与每个 $e_i$ 配对，就得到每个系数都为零。

在 ${\ell }^2$ 中，标准坐标向量构成 Hilbert 基。向量 $(1,1/2,1/3,\dots )$ 有有限的平方和，其前 $N$ 项截断在范数下收敛到它，却没有任何有限截断等于它。这展示了 Hilbert 展开与有限 Hamel 展开的区别，Fourier 级数使用的是前一种收敛。

给定有限维空间的一组有限基，并能够精确计算内积、除法与非负实数平方根，Gram–Schmidt 正交化理路Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。就逐项输出同一空间的一组正交规范基。若输入只是线性无关组，输出的基只覆盖它的张成空间；这个有限过程没有声称构造任意无限维 Hilbert 基。正交投影理路正交投影Orthogonal projection把向量映到子空间上最近点并使误差与子空间正交的线性算子。则把选定基的坐标分量加回目标子空间。正交或酉坐标变换保持二范数，因此换基的条件数为 $1$，坐标扰动的长度保持不变。

QR 分解理路QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。用正交规范基组织矩阵的列空间；Schur 分解理路Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。用酉基把复方阵化为上三角形；有限维谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。进一步为复正规算子选择正交规范特征基。三者分别利用这种基来组织列空间、三角结构和特征方向。

从两点坐标到逐层重构 ​

本页的 $(3,1)$ 例只换一次二元坐标。Haar多分辨率变换理路Haar小波与多分辨率重构Haar wavelet transform · Discrete Haar transform · Haar multiresolution analysis逐层把相邻数据变成平均与差异，给出有限Haar变换的精确逆、能量账本与区间分辨率，并区分采样值和函数系数。将同一步骤反复用于相邻分块，明确每层的平均与差异、完整逆变换，以及数据坐标和 $L^2[0,1]$ 函数坐标之间的 $1/\sqrt{n}$。完整换基不丢信息；真正压缩发生在删去系数时，此时误差恰由删去的能量给出。按位置和尺度构造基是新的具体实现，不改变这里的Hilbert基定义。