形式陈述

向量空间 $V$$V$ 的一组基是子集 $B\subseteq V$$B\subseteq V$，同时满足：

$$ \operatorname{span}B=V, \qquad B\text{ 线性无关}. $$$$\mathrm{span}B=V,B\text{ 线性无关}.$$

因此每个 $v\in V$$v\in V$ 都能唯一表示为有限和

$$ v=\sum_{b\in B}a_bb, $$$$v=\sum _{b\in B}{a}_{b}b,$$

其中只有有限多个 $a_b\ne0$$a_b\ne 0$。有限维空间中，任一线性无关组可扩充为基，任一生成组可删减为基；在通常 ZFC 集合论中，任意向量空间都有 Hamel 基。其标准证明使用 Zorn 引理，在不含选择公理的集合论中不能无条件调用这一一般存在性结论。

直觉

基是既没有冗余、又不缺方向的坐标骨架。张成保证能表示所有向量，线性无关保证表示唯一。

例子与边界

$\{(1,0),(0,1)\}$$\{(1,0),(0,1)\}$ 是 $\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$ 的标准基，$\{(1,1),(1,-1)\}$$\{(1,1),(1,-1)\}$ 也是。函数空间中的 Hamel 基只允许有限线性组合，与 Fourier 基、Schauder 基等允许收敛无穷展开的分析概念不同。

推论与应用

选择基可把抽象向量空间同构为有限支撑坐标空间，并把线性映射表示为矩阵。不同基给出不同坐标，但维数保持不变；换基矩阵描述坐标系统之间的转换。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§2B。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 3。