向量空间的基

基是既没有冗余、又不缺方向的坐标骨架。张成保证能表示所有向量，线性无关保证表示唯一。基同时解决“能否表示”和“表示是否唯一”两个问题。只有张成时，坐标可能有许多套；只有线性无关时，又可能漏掉空间中的方向。把二者合在一起后，抽象向量空间便可用有限支撑坐标精确编码，而坐标的选择仍与向量本身相区分。

$\{(1,0),(0,1)\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的标准基，$\{(1,1),(1,-1)\}$ 也是。

在多项式空间 $P_2(\mathbb{R})$ 中，$\{1,x,x^2\}$ 是基，$\{1,1+x,x+x^2\}$ 也是基；后者的坐标可通过解一个三角线性系统得到。集合 $\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 张成 ${\mathbb{R}}^2$ 却不是基，因为第三个向量是前两个之和。无限维函数空间中的 Hamel 基仍只允许有限和，这与允许范数收敛无穷展开的正交基、Schauder 基不同；Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。属于后一种分析结构，不能直接当成 Hamel 坐标。

选择基可把抽象向量空间同构为有限支撑坐标空间，并把线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。表示为矩阵；换基与坐标变换公理库换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。则说明不同矩阵怎样描述同一算子。代数上等价的基可能给出误差放大程度悬殊的坐标，必须结合条件性公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。解释；由QR 分解公理库QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。产生的正交或酉基是数值上重要的特殊选择，因为它在二范数下不放大坐标扰动。不同基给出不同坐标，但任意两组基的基数相同，由此定义 维数公理库维数Dimension of a vector space在基存在时，以基的基数度量向量空间的独立方向数。；基的延拓与抽取还支撑秩–零化度定理、对偶空间和张量积的构造。