维数

维数计数重建整个空间所需的独立方向数。坐标随基改变，方向数却不改变；有限维时，这个数还给出“无冗余”和“无遗漏”的共同临界点：在 $n$ 维空间里，含 $n$ 个向量的线性无关组或生成组都会自动成为基。

无限维时，维数是基数而非“无限”这个模糊标签。Hamel 基仍要求有限线性组合，所以它与分析中允许无限级数展开的正交基概念不同。

${\dim }_F{F}^n=n$；次数不超过 $d$ 的多项式空间以 $1,x,\dots ,x^d$ 为基，维数为 $d+1$。同一底层集合更换标量域会改变维数：

子空间

中的向量唯一写成

因此这两个向量张成 $W$。它们也无关：组合等于零时，第一坐标直接给出 $x=0$，第三坐标给出 $z=0$。所以它们构成基，$\dim W=2$，尽管每个向量写出来有四个坐标。

这并不意味着“写出几条方程就减去几个维数”。若再加 $2x+2y=0$，新条件只是第一条的两倍，$W$ 完全不变。真正减少自由度的是独立约束；此处先解出 $y=-x,w=z$，留下两个可任取且可由向量唯一读回的参数，才完成维数计算。

无限维 Hilbert 空间的“Hilbert 维数”通常指正交规范基的基数，并允许范数收敛的无限展开；Hamel 维数则按有限线性组合定义。可分的无限维 Hilbert 空间有可数正交基，但它作为纯向量空间的 Hamel 基不可数，二者不能混用。

环还有另一种Krull 维数理路Krull 维数Krull dimension以素理想严格包含链长度的上确界度量交换环的代数维数。，按素理想严格包含链的长度计算。作为 $k$-向量空间，$k[x]$ 以 $1,x,x^2,\dots$ 为 Hamel 基，维数无限；作为环，它的 Krull 维数却为 $1$。两者分别计数线性坐标和素理想层次，不能共用同一个数。

有限维数控制线性映射的单射与满射、子空间的和与交，以及 秩–零化度定理理路秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。

无限维时，维数比较仍使用基数与交换定理，但有限维公式中“加一便严格变大”等直觉未必保留。维数始终依赖标量域与所选的基概念，不能从底层集合大小或坐标书写长度直接读取。数值迭代中的Krylov 子空间理路Krylov 子空间Krylov subspace从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。则以 $r_0,A{r}_0,\dots$ 的张成维数记录新方向何时停止增加；精确算术下的维数停滞来自线性相关，浮点实现报告的有效维数还会依赖数值秩容差。

学习理论也使用“维”描述函数类，但对象不是线性基。VC 维理路VC 维Vapnik–Chervonenkis dimension · VC dimension二分类假设类能够完全打散的最大有限点集大小。计算二分类类能完全打散的最大点集，伪维理路伪维pseudo-dimension · Pollard dimension通过逐点阈值打散，把 VC 维推广到实值函数类。把阈值打散推广到实值函数，Littlestone 维理路Littlestone 维Littlestone dimension · online mistake dimension以自适应实例树的路径打散刻画可实现在线学习的最优确定性错误数。则计算在线对抗树上可连续实现的分支深度。它们都是组合维度：即使假设由 $p$ 个实参数表示，也不能不经证明就把这些数等同于 $p$，更不能借用秩–零化度等线性空间公式。