形式陈述

向量空间 $V$$V$ 的维数定义为任一基的基数：

$$ \dim_F V=|B|. $$$${\dim }_{F}V=|B|.$$

交换引理及其无限版本保证任意两组基等势，因此定义良好。若维数为有限整数 $n$$n$，则 $V$$V$ 称为 $n$$n$ 维；零空间 $\{0\}$$\{0\}$ 的基为空集，故维数为 $0$$0$。

直觉

维数计数表达空间所需的独立方向数。它不依赖具体选择哪一组方向，而只反映向量空间本身与标量域。

例子与边界

$\dim_FF^n=n$${\dim }_F{F}^n=n$，而次数不超过 $d$$d$ 的多项式空间基为 $1,x,\ldots,x^d$$1,x,\dots ,x^d$，维数 $d+1$$d+1$。同一底层集合更换标量域可改变维数：$\mathbb C$$\mathbb{C}$ 作为 $\mathbb C$$\mathbb{C}$ 空间维数为 $1$$1$，作为 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 空间维数为 $2$$2$。

推论与应用

在 $n$$n$ 维空间中，含 $n$$n$ 个向量的线性无关组自动是基；含 $n$$n$ 个向量的生成组也自动是基。维数公式支撑子空间比较、秩–零化度与线性方程自由度分析；无限基数运算需与有限维直觉区分。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§2C。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 3。