伪维

每个样本点都带一根可独立设定高度的横杆 $r_i$，函数图像要能按任意二进制模式越过或低于这些横杆。阈值随点变化，使伪维捕捉实值函数在不同位置的相对高度，而不是只问同一个水平切片能形成多少分类。

子图转换把 $(x_i,r_i)$ 当作扩充空间中的二分类点：函数值是否越过阈值，等价于该点是否落入函数子图。于是 VC 维的组合工具可以复用，但输出范围与损失尾部仍属于回归问题的额外条件。

线性函数例子 ​

对无截距线性类 $f_w(x)=⟨w,x⟩$，$w,x\in {\mathbb{R}}^d$，伪维为 $d$；加入自由截距后通常为 $d+1$。下界可选择线性独立的输入并调节 $w$ 实现相对阈值的符号模式；上界来自扩充后的仿射半空间 VC 维。这里的结论依赖函数族的具体表示能力，而不是“有 $d$ 个参数所以必然等于 $d$”。

与相邻维度的区别 ​

若只允许一个统一阈值 $r$，得到的是不同的阈值维度，不能替代逐点 $r_i$。伪维适合回归和实值损失类；fat-shattering dimension 还引入正 margin，更能刻画尺度敏感的实值复杂度。对二元 $\{0,1\}$ 值类，取阈值 $1/2$ 后伪维退化为 VC 维。

边界 ​

有限伪维只约束组合丰富度。要从它推出平方损失或绝对损失的风险界，通常还需输出有界、尾部条件或截断；无界函数可让少量极端值主导风险。不同参数可能表示同一函数，神经网络等类的伪维也未必等于裸参数数目。

对二元函数类，取阈值 $1/2$ 后伪维退化为 VC 维；对线性实值函数，维数与独立线性方向对应。它因此是回归函数类的一项组合复杂度，而不是损失函数或估计器本身。

将伪维用于泛化时，还要把函数输出范围传到损失类。绝对损失需要 Lipschitz 与包络控制，平方损失的 Lipschitz 常数则依赖预测和标签界；若响应重尾，应先引入截断或稳健估计，不能只引用有限伪维。