形式陈述

若 $T:V\to W$ 的像有限维，定义 $\mathrm{rank}T=\dim (\mathrm{im}T)$。矩阵秩等于列空间维数，也等于行空间维数；$\mathrm{rank}(ST)\le min\{\mathrm{rank}S,\mathrm{rank}T\}$。

直觉

秩不是非零元素数量，而是输出中真正独立的自由方向数。

例子与边界

矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ 有多个非零元素但秩为 1。初等行列变换和换基保持秩。

推论与应用

统一线性方程可解性、数据维度、低秩分解与退化条件。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), rank-nullity.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), row and column rank.