线性映射的秩

秩数的是映射输出中可以独立变化的方向，而不是矩阵里有多少个非零元素，也不是映射能产生多少个不同输出。一个满是非零数的矩阵，所有列仍可能落在同一条直线上；相反，一个稀疏对角矩阵可以在每个坐标方向上都保留自由度。

从几何上看，$T$ 把整个输入空间压进一个 $r$ 维像空间；核中的变化完全不可见，核外也只有 $r$ 个独立输出方向。低秩因而等价于映射经过一个低维中间空间。若 $A$ 的秩为 $r$，就存在

其中 $B$ 满列秩、$C$ 满行秩。可先从 $A$ 的列中选出像空间的一组基作为 $B$，再把每一列在这组基下的坐标排成 $C$。反过来，$C$ 把输入送到 $F^r$，$B$ 再把这 $r$ 个坐标嵌入输出空间，所以乘积的秩正好是 $r$。

行秩等于列秩可以用行化简作一个最小证明。初等行变换等于左乘可逆矩阵：它保持列之间的线性依赖关系，也保持行空间的维数。把 $A$ 化成行阶梯形后，非零行彼此独立，其数量等于主元数；主元列也彼此独立，并生成全部列空间。行空间维数和列空间维数因此都等于同一个主元数。这个相等不是定义上的约定，而是需要证明的矩阵定理。

对矩阵

第二行是第一行的两倍，三列也都是 $(1,2{)}^{\mathsf{T}}$ 的倍数，所以 $\mathrm{rank}A=1$。它的秩分解可直接写成

这个例子有六个非零元素，却只有一个独立输出方向。零矩阵的秩为 $0$；任何非零矩阵至少有一个非零列，秩至少为 $1$。

秩也精确表达线性方程的可解性。$Ax=b$ 有解当且仅当 $b$ 属于列空间，等价于

有解后是否唯一由核决定；对于 $n\times n$ 方阵，满秩、核为零、可逆和每个右端项都有唯一解彼此等价。秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。负责把“保留下来的方向”和“被压掉的方向”精确相加为 $\dim V$。

精确秩对微小扰动不连续。矩阵 $\mathrm{diag}(1,\epsilon )$ 对每个非零 $\epsilon$ 都有秩 $2$，但当 $\epsilon \to 0$ 时趋近秩 $1$ 的矩阵。浮点数据中“奇异值是否足够接近零”必须相对于噪声尺度、矩阵范数和应用容差判断；SVD公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。由阈值给出的数值秩是建模选择，不会改变本条的精确代数定义。

行化简公理库行化简Row reduction用初等行变换把矩阵化为阶梯形以求解线性方程组和判定秩。用主元数计算精确秩，秩分解则把低秩结构显式拆为“坐标提取”和“嵌入像空间”两步。数据压缩、矩阵补全与低秩近似都借用这幅图像，但带噪问题通常优化的是到低秩矩阵的距离，而不是先把微小数值机械判为精确零。在线性代数之外，微分映射的秩描述局部自由方向，Jacobian 降秩常用来刻画奇异点；每种推广仍需说明所处空间与维数概念。

同一代数不变量进入计算模型后，资源含义必须另外证明。对布尔函数的通信矩阵公理库通信矩阵与组合矩形Communication matrix · Combinatorial rectangle将两方函数排成输入行列矩阵，并以行集和列集的笛卡尔积刻画协议能够共同隔离的区域。，确定性协议的叶矩形诱导低秩分解，从而得到对数秩通信下界公理库通信复杂度的秩下界Rank lower bound for communication complexity · Communication matrix rank bound将协议的单色叶写成秩一矩阵之和，由通信矩阵的线性代数秩推出确定性 bit 下界。；这里计量的是双方交换的 bit。查询模型公理库查询复杂度模型Query complexity model · Bit-query model将输入隐藏在坐标 oracle 后，只统计算法为确定函数值而读取的输入位置数量。按读取坐标计费，矩阵秩本身并不等于查询次数。在线性码中，校验矩阵给出全局约束，而局部可测试性公理库局部可测试码Locally testable code · LTC通过少量码字符号查询区分合法码字与到整个码至少相距 ε 的接收词，并量化局部拒绝概率。还要求测试器只查看少量坐标。“低秩”“低通信”和“少查询”因而是相关但不能互相替代的三项性质。