形式陈述

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间。非空子集 $W\subseteq V$ 是子空间，当且仅当对任意 $u,v\in W$ 与 $a,b\in F$ 都有 $au+bv\in W$。任意子空间族的交仍是子空间；集合 $S$ 的张成是包含 $S$ 的最小子空间。

直觉

子空间是在不改变线性规则的前提下，把注意力限制到一组可相互线性组合的方向。

例子与边界

齐次方程 $Ax=0$ 的解集是子空间；非齐次解集若非空通常只是仿射子空间。两个子空间的并一般不是子空间，除非一个包含另一个。

推论与应用

支撑核、像、商空间、直和、不变子空间和线性方程解空间。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), subspaces and spans.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), vector spaces and subspaces.