线性子空间

子空间是在不改变线性规则的前提下，把注意力限制到一组可相互线性组合的方向。子空间是在原向量空间内部仍能独立进行全部线性运算的集合。要求包含零向量并对加法、标量乘法封闭，等价于对任意线性组合封闭；因此子空间不只是“形状像直线或平面”，还必须穿过原点。最小子空间由张成给出，交集保持子空间，而并集通常不保持。

齐次方程 $Ax=0$ 的解集是子空间；非齐次解集若非空通常只是仿射子空间。两个子空间的并一般不是子空间，除非一个包含另一个。

$\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间，因为它是线性泛函的核。平面 $x+y+z=1$ 不含零向量，故只是仿射子空间。两条不同过原点直线的并集通常不是子空间：从两条线上各取一个向量，其和可能落在两者之外。

支撑核、像、商空间、直和、不变子空间和线性方程解空间。子空间可由 张成公理库线性组合与张成Linear combination and span有限标量加权和及由给定向量生成的最小子空间。、线性方程的解集或 核与像公理库线性映射的核与像Kernel and image · Null space and range分别记录被线性映射压到零的方向与实际能够到达的向量集合。产生。商向量空间公理库商向量空间Quotient vector space按子空间诱导的陪集等价关系取商并继承向量运算的空间。把某个子空间方向压为零，直和与补空间则把大空间分解为若干独立部分。