横向量子门

码的纠错能力按每个码块里的错误重量衡量。跨两块的一个双qubit门故障可以同时伤到两位，但如果每块只伤一位，各块仍有机会独立纠正。

危险的是让同一个故障在一个码块内反复碰到不同数据位置。横向连接把这种同块传播隔开；至于它到底做了哪个逻辑门，还得查看整个码空间的代数结构。

CSS两块的稳定子怎样变换 ​

设控制块为 $A$、目标块为 $B$，对每个 $j$ 施 CNOT $A_j\to B_j$。由Clifford共轭规则公理库Clifford 群Clifford group · Pauli normalizer以Pauli正规化子刻画Clifford门，逐项追踪H、S、CNOT的共轭与相位，并用T门说明有限可模拟结构和通用量子门之间的边界。，对任意二元向量 $h$ 有

如果 $h$ 是对应CSS检查行，右侧仍是两块稳定子的乘积。因此所有共同 $+1$ 约束保持，门层不会把状态带出码空间。

再选一套成对反对易的逻辑 ${\bar{X}}_i,{\bar{Z}}_i$，也用纯 $X$ 与纯 $Z$ 代表。它们满足同样的变换式，正是每对对应逻辑 qubit 的 CNOT：控制逻辑 $X$ 复制到目标，目标逻辑 $Z$ 复制到控制。只证明稳定子保留还不够；这一层逻辑Pauli核对才辨认出究竟实现了哪个门。

七qubit码的H与S ​

七qubit CSS码两套检查矩阵相同。逐位 $H$ 把全部 $X$ 检查换成同支撑的 $Z$ 检查，反之亦然；并把 $\bar{X}=X^{\otimes 7}$ 与 $\bar{Z}=Z^{\otimes 7}$ 交换，所以实现逻辑 $H$。

逐位 $S$ 要更小心。每条 $X$ 检查重量4，变成同支撑 $Y$ 乘积，含相位 $i^4=1$，因此仍是相应 $X$、$Z$ 检查的乘积。码空间确实保留。

但逻辑 $X$ 的重量为7，

逻辑 $Z$ 不变，因此物理 $S^{\otimes 7}$ 实现的是逻辑 $S^{†}$，不是逻辑 $S$。要实现逻辑 $S$，可逐位施 $S^{†}$。这一例说明丢掉Pauli相位会把逻辑门认反。[1, §11.3]

横向接线未必保持码空间 ​

三qubit比特翻转重复码也是CSS码，稳定子为 $Z_1{Z}_2,Z_2{Z}_3$，没有对应的 $X$ 检查。逐位 $H$ 虽然完全横向，却把稳定子变成 $X_1{X}_2,X_2{X}_3$，换成了相位翻转码。

例如原码字 $|000⟩$ 变成 $|+++⟩$，后者不是原来两条 $Z$ 检查的共同 $+1$ 态。因此“横向”不是“这个固定码的逻辑门”的同义词。若允许换码，需要另行声明编码表示和后续恢复接口。

单故障界具体保护了什么 ​

对理想输入，一次门位置故障可作用于该门涉及的全部物理qubit；横向条件使每块至多受一处影响。一个预先存在的单qubit Pauli，经无故障横向层后，也只会传播到同一位置的其他块，每块仍至多一处。

两件事分别成立，不表示把它们无条件相加仍是每块一错。例如某块原有位置1的错误，位置2的横向门又出故障，就可能在同块留下两处。单错纠正码的容错门条件应限制总预算，或在层间插入经过证明的纠错步骤。

门层所需的物理连接也属于实现条件。“任意两块对应位置可直接作用”与二维最近邻布局不是同一个模型；若必须加入 SWAP 和等待，应重新追踪它们的故障位置，不能把路由成本省掉。

横向门使故障不在一块内扩散，却一般不能独立提供全部通用逻辑操作。Eastin–Knill 定理公理库Eastin–Knill 横向门限制Eastin–Knill theorem从单子系统错误可检测推出局部生成元在码空间上为标量，再用紧Lie群的连通分支证明固定横向酉门不能构成通用逻辑门集。给出固定有限维精确纠错码的限制；魔术态注入公理库魔术态注入与门传态Magic-state injection · Gate teleportation把一份T魔术态转化为数据上的T门，逐分支计算测量与S前馈，说明相位错误如何传递，并以迹距离界控制完整注入通道的资源误差。通过辅助资源、测量与前馈补上非Clifford门。