复合量子系统

张量积同时列出两侧所有结果组合，却不要求每个联合状态都能拆成两个向量。乘积态对应两个系统分别制备；可分态允许双方共享一个经典随机标签再分别制备；纠缠态超出后一种制备方式。

“局部各是什么状态”与“整体是什么状态”是不同问题。仅知道两侧局部状态通常不能重建它们的相关性。偏迹公理库偏迹Partial trace · Reduced quantum state · 约化量子态偏迹将复合系统的联合密度算子映为子系统的约化态，并保留该子系统全部局部测量的概率。负责从整体提取局部，而丢掉的信息正包括部分联合关联。

Bell 态与经典相关态 ​

在基顺序 $00,01,10,11$ 下，令

双方直接测计算基，都只出现 $00$ 与 $11$，各占一半。单看这一组数据，无法分辨相干叠加与经典混合。

Bell 向量的系数矩阵是 $C=\mathrm{diag}(1,1)/\sqrt{2}$，秩为 $2$。乘积向量的系数满足 $c_{ij}=a_i{b}_j$，故矩阵 $C=a{b}^T$ 的秩只能为 $1$；反过来，非零秩一系数矩阵总能分解成这样的外积。因此 Bell 态不是乘积纯态，因而纠缠。这里是普通转置，因为是在拆分振幅乘积，不是在计算内积。

为什么纯态只需排除乘积向量？若秩一矩阵 $|\psi ⟩⟨\psi |$ 被写成若干正半定项的正权重和，对任何 $v\perp \psi$，各项的二次型都必须为零。因此所有项的支持空间都只能落在 $\psi$ 所张成的一维空间；可分分解就必须包含与 $\psi$ 同方向的乘积向量。

相比之下，${\rho }_{\mathrm{C}}$ 已明确写成两个乘积态的概率混合，所以可分。它却不是一个乘积态：两侧计算基边缘概率均各半，若是独立乘积，$01$ 的概率应为 $1/4$，实际为 $0$。

换基暴露联合差异 ​

令 $X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。由于 $X\otimes X$ 交换 $|00⟩$ 和 $|11⟩$，有 $(X\otimes X)|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$，所以 Bell 态的 $X\otimes X$ 期望为 $1$。经典相关态中，每个乘积项的局部 $X$ 期望都是零，联合期望为 $0$。两态在计算基上的相同相关，不代表在其他基下仍相同。

上述 Bell 资源可由先对 $A$ 做 Hadamard、再以 $A$ 控制 $B$ 的 CNOT 从零态制备，逐步计算见量子电路公理库量子电路Quantum circuit用固定寄存器上的酉门、测量和经典控制表示有限量子操作序列，并明确基顺序、矩阵乘法与测后更新。。同一制备酉矩阵作用于四个计算基向量得到完整 Bell 基，其标签与逆电路在Bell 测量公理库Bell 测量Bell measurement · Bell-basis measurement · Bell 基测量用 CNOT 与 Hadamard 将四个 Bell 向量解码为计算基标签，并区分相同测量效应下不同的测后状态。中固定。若 $A,B$ 将分属不同实验室，应先制备并分发资源，不能把联合 CNOT 计作分离后的本地门。传态的经典相关资源反例公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。进一步显示：将纠缠态换成这里的经典相关态，保留相同校正步骤，得到的是去相位而非完整状态传输。

联合纯态可以拥有混合的局部态：上述两种联合状态在任一侧都约化为 $I/2$，计算见偏迹公理库偏迹Partial trace · Reduced quantum state · 约化量子态偏迹将复合系统的联合密度算子映为子系统的约化态，并保留该子系统全部局部测量的概率。。这为量子通信复杂度公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。中“预共享纠缠不等于已经传输信息”提供了状态语言；也解释量子查询公理库量子查询模型Quantum query model · Quantum black-box model将输入封装为可在叠加索引上相干调用的 oracle，并只计输入相关调用次数的有限维量子黑盒模型。为何必须把索引、回答位与工作空间作为完整联合系统处理。

自测：$(|00⟩+|01⟩)/\sqrt{2}$ 是否纠缠？它等于 $|0⟩\otimes |+⟩$，系数矩阵秩一，所以不是。再比较 ${\rho }_{\mathrm{C}}$ 与 $I_4/4$：两者局部态相同，但前者计算基结果总相等，后者只以 $1/2$ 概率相等。