量子纯态

纯态记录的不是某一固定测量下的一张概率表，而是能够预测不同测量选择的振幅关系。两态在计算基上具有相同概率，并不意味着它们相同：换一个基，原先藏在相对相位里的区别可能变成确定的输出。

输入无关的可逆演化由酉矩阵公理库正交矩阵与酉矩阵Orthogonal matrix · Unitary matrix · 酉矩阵在实或复内积空间中保持内积的方阵，其逆分别等于转置或共轭转置。 $U$ 给出。因为 $U^{†}U=I$，$\Vert U\psi {\Vert }^2=⟨\psi |U^{†}U|\psi ⟩=1$，它自动保留归一化。它还保留两态的内积，所以不能仅靠同一个可逆操作把原来不正交的两个态变成正交态。测量选择与状态演化必须分开：矩阵改变状态，测量则从状态得到经典结果。

相同概率表，不同干涉结果 ​

令

直接在计算基测量，两者都以 $1/2$ 的概率给出 $0$ 或 $1$。但先施加 Hadamard 矩阵 $H$，逐项相加得到

于是计算基测量可以确定区分两态。区别来自两个坐标间的相对负号。相比之下，把 $|+⟩$ 的所有坐标同时乘以 $-1$，任何基向量 $|u⟩$ 对应的概率都满足 $|⟨u|(-\psi )⟩{|}^2=|⟨u|\psi ⟩{|}^2$，不能观察到变化。更一般的整体相位同理。

“整体”总要相对于完整系统说。只给复合态中的一个分支加负号，通常改变的是分支间的相对相位；不能因为该分支单独写成一个向量，就把负号删掉。

归一化与随机混合不是同一件事 ​

$|0⟩+|1⟩$ 的平方范数是 $2$，不能直接代入概率公式当作已归一化状态。将它除以 $\sqrt{2}$ 得到纯态 $|+⟩$，但“抛公平硬币，分别制备 $|0⟩$ 或 $|1⟩$”不是同一制备：后者先做 $H$ 再测量，仍各半得到 $0,1$。振幅先相加再取平方，与概率分布先混合，顺序不同。

量子电路公理库量子电路Quantum circuit用固定寄存器上的酉门、测量和经典控制表示有限量子操作序列，并明确基顺序、矩阵乘法与测后更新。把这里的酉演化放入固定寄存器序列，明确局部门的张量嵌入、门的实际先后顺序与测量更新。随后在量子传态公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。中，相位边界会具体表现为：测前不能逐分支删除负号，测后单个条件态的整体相位才可忽略。

密度表示 $|\psi ⟩⟨\psi |$ 会自动消去整体相位，并为一般量子态公理库密度算子Density operator · Density matrix · 密度矩阵密度算子是在有限维复内积空间上半正定且迹为一的算子，用于统一表示纯态与混态。提供入口；多个寄存器如何组合，则由复合量子系统公理库复合量子系统Composite quantum system · Bipartite quantum system复合量子系统以各子系统空间的张量积为状态空间，并用联合密度算子区分乘积态、可分态与纠缠态。说明。量子查询模型公理库量子查询模型Quantum query model · Quantum black-box model将输入封装为可在叠加索引上相干调用的 oracle，并只计输入相关调用次数的有限维量子黑盒模型。中的两位 parity 算法恰好把未知输入写成 $|+⟩$ 与 $|-⟩$ 的区别，再用同样的干涉步骤读出。

自测：令 $|{\psi }_{\theta }⟩=(|0⟩+e^{i\theta }|1⟩)/\sqrt{2}$。先做 $H$ 再在计算基测量，结果 $0$ 的概率是多少？检验答案应为 $|1+e^{i\theta }{|}^2/4=(1+\cos \theta )/2$；取 $\theta =0,\pi$ 应分别得到 $1,0$。这也说明相对相位不只包含正负两种情况。