密度算子

密度算子把所有能在该系统上观测到的统计信息压缩到同一对象里。对角元是当前基的结果概率；非对角元会影响换基之后的结果。不能把“非对角”当成绝对性质，因为一个矩阵是否对角取决于基。

一个状态可以来自经典随机制备，也可以来自丢弃纠缠系统的一部分。密度算子描述保留下来的系统，不必指定究竟是哪种来源。如果两种制备给出同一个 $\rho$，只对这个系统测量就无法区分它们；如果另持有制备标签或辅助系统，新增的信息必须加入模型。

同一计算基分布不等于同一状态 ​

比较

二者的对角元均为 $1/2$，所以计算基测量无法区分。但在 $X$ 基 $\{|+⟩,|-⟩\}$ 测量，结果 $+$ 的概率分别是

第一式使用 ${\rho }_{+}^2={\rho }_{+}$；第二式使用 $\mathrm{Tr}{\rho }_{+}=1$。这正好复现先做 Hadamard 再测量的结果。

同一个混态还具有至少两种不同分解：

展开右侧两个矩阵，非对角项一正一负，恰好抵消。因此不能从 $I/2$ 唯一反推出制备时“真正抽中了哪个纯态”。混态分解不是状态的一部分。

迹为一仍可能非法 ​

$A=\mathrm{diag}(1.2,-0.2)$ 是 Hermitian 且迹为一，却不是密度算子：对 $|1⟩$ 有 $⟨1|A|1⟩=-0.2$，将产生负概率。半正定条件不能被“对角元总和为一”替代；即便对角元都非负，也仍须检查非对角元是否使矩阵出现负特征值。

用谱判断纯态 ​

由有限维谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。，任何密度算子都能写为 $\rho =\sum _j{\lambda }_j|u_j⟩⟨u_j|$，其中 ${\lambda }_j\ge 0$ 且 $\sum _j{\lambda }_j=1$。这既证明合法密度算子总有纯态混合表示，也给出

下界由 $1=(\sum _j{\lambda }_j{)}^2\le d\sum _j{\lambda }_j^2$ 得到，上界由 $0\le {\lambda }_j\le 1$ 得到。上界取等当且仅当只有一个特征值为 $1$，即 $\rho$ 是秩一纯态；下界取等当且仅当 $\rho =I/d$。例中的两态纯度分别为 $1$ 与 $1/2$。

接下来可用复合系统公理库复合量子系统Composite quantum system · Bipartite quantum system复合量子系统以各子系统空间的张量积为状态空间，并用联合密度算子区分乘积态、可分态与纠缠态。处理相关性，用偏迹公理库偏迹Partial trace · Reduced quantum state · 约化量子态偏迹将复合系统的联合密度算子映为子系统的约化态，并保留该子系统全部局部测量的概率。计算丢弃寄存器后的状态，并用 POVM 计算输出概率。反过来，量子态纯化公理库量子态纯化Quantum state purification · Purification of a quantum state量子态纯化将一个混态表示成较大系统中纯态的约化态，最小辅助空间维数等于原态的秩。说明每个密度算子都可表示为较大系统中纯态的约化态，所需辅助空间的最小维数是该密度算子的秩。

自测：${\rho }_p=p|0⟩⟨0|+(1-p)|+⟩⟨+|$，$0\le p\le 1$。展开矩阵并判断何时为纯态。检查值为 $\mathrm{Tr}{\rho }_p^2=1-p(1-p)$，故仅在 $p=0$ 或 $p=1$ 时为纯态；中间概率不是振幅，不能先混合两个向量再归一化。