量子信道

信道规定“装置运行一次之后交出什么状态”。装置可以引入辅助系统、让它与输入相互作用，再丢弃一部分寄存器。虽然较大系统的演化保持相干，观察者拿到的部分仍可能变成混态。

例如让与输入独立的环境处于固定态 ${\tau }_E$，对 $X\otimes E$ 施加酉算子 $U$，随后用偏迹公理库偏迹Partial trace · Reduced quantum state · 约化量子态偏迹将复合系统的联合密度算子映为子系统的约化态，并保留该子系统全部局部测量的概率。丢弃环境，便得到

固定且独立的环境保证这是一套对所有输入统一适用的线性规则。若输入一开始就与环境相关，只给出输入的边缘态可能不足以确定输出，不能直接套用这一公式。

图中的“忽略结果”和“得知结果”对应不同的信息条件。POVM公理库正算子值测度（POVM）Positive operator-valued measure · POVM · 正算子值测度有限结果 POVM 是一组和为恒等算子的半正定效应算子，它通过迹公式规定各测量结果的概率。只给出各结果概率，完整的分支操作还要规定留下的量子状态。

测完计算基，却不记结果 ​

单 qubit 状态写为

令 $P_0=|0⟩⟨0|$、$P_1=|1⟩⟨1|$。完整去相位信道为

因此 $\mathrm{\Delta }(|+⟩⟨+|)=I/2$，而 $\mathrm{\Delta }(|0⟩⟨0|)=|0⟩⟨0|$。再次去相位不再改变状态，即 ${\mathrm{\Delta }}^2=\mathrm{\Delta }$。若记下结果，输出还应包括经典寄存器 $C$：$\sum _a|a⟩⟨a{|}_C\otimes P_a\rho P_a$。把 $C$ 丢弃才得到上面的 $\mathrm{\Delta }$。

若只挑出结果 $0$，未归一化状态为 $a|0⟩⟨0|$；只有 $a>0$ 才能进一步得到条件态 $|0⟩⟨0|$。这个挑选过程与确定性去相位不能互换。

正映射仍可能破坏纠缠态 ​

转置 $T(A)=A^{\mathsf{T}}$ 保持迹，也保持单系统上的半正定性。但令 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=(|00⟩+|11⟩)/\sqrt{2}$，则

反对称向量 $(|01⟩-|10⟩)/\sqrt{2}$ 的特征值是 $-1/2$，另外三个特征值是 $1/2$。结果不是半正定矩阵，所以转置不是量子信道。完全正性排除的正是这种“单独看合法、接上辅助系统就非法”的变换。

量子传态公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。提供恒等信道的分布式实现：各个校正后传输算子都是 $I/2$，四分支求和恢复输入。把这些算子张量参考系统的恒等算子，便同时证明其保留与外部系统的关联；这比只检查若干孤立纯态更完整。

构造信道的基本积木 ​

酉共轭在扩展系统上仍是酉共轭，故保持半正定性和迹。偏迹也完全正：若 $P⪰0$，对任意向量 $v$ 和被丢弃空间的正交基 $\{|j⟩\}$，有

加入任意未操作的辅助寄存器后证明不变，且全迹保持。两个信道的复合仍满足 CP 和 TP；两个信道的张量积可以写成先在一侧、再在另一侧作用的复合，也仍是信道。这让电路中的局部步骤能够拼成完整操作。

局部操作为何不能单独传信 ​

设 Alice 对 $A$ 施加信道，Kraus 算子为 $K_j:A\to A^{\prime }$，满足 $\sum _j{K}_j^{†}{K}_j=I_A$。对 Bob 的任意效应 $E$，操作后结果概率为

所有局部测量概率不变，因而 Bob 的约化态不变。这是量子通信复杂度公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。区分共享纠缠与实际通信的基础。若 Alice 选定一个结果，求和不再完整，Bob 的条件态可以变化；要利用这个条件，仍需获知结果标签。

Kraus 表示定理公理库Kraus 表示Kraus representation · Operator-sum representation · 算子和表示有限维线性映射完全正当且仅当它能写成 Kraus 算子和，保持迹则等价于这些算子的完备性恒等式。把抽象的 CP 条件转成有限个矩阵的检验；迹距离公理库迹距离Trace distance · Quantum trace distance迹距离是两个密度算子之差的迹范数的一半，恰好刻画单份量子态在最优测量下的可区分程度。则量化信道不能增加的状态可区分度。自测：对 $|+⟩$ 和 $|-⟩$ 分别去相位，两输出都是 $I/2$；装置保留了计算基分布，却抹去了区分这两种输入所需的相位信息。