正算子值测度（POVM）

POVM 是一份从量子输入到经典输出的概率规范。一个效应算子说明哪些输入更容易触发该结果，所有效应加起来等于恒等算子则保证没有漏掉概率。

它不完整描述测量后的量子系统。不同装置可能给出相同输出分布，却对留下的量子状态产生不同影响。若算法还要继续使用测后的寄存器，仅写 POVM 不够；还必须给出状态更新操作。

一个非投影的二结果测量 ​

考虑单 qubit 上

两者特征值非负，且和为 $I$，所以构成合法 POVM；但 $E_0^2=\mathrm{diag}(9/16,1/16)\ne E_0$，故不是投影测量。若 $\rho =\left(\begin{array}{cc}r& c\\ \overline{c}& 1-r\end{array}\right)$，直接乘矩阵取迹得到

输入 $|0⟩$ 时结果 $0$ 概率为 $3/4$；输入 $|1⟩$ 时为 $1/4$；输入 $|+⟩$ 或 $I/2$ 时均为 $1/2$。这个装置也可由先测计算基、再以 $1/4$ 概率翻转经典标签实现，所以一般测量并不都需要复杂的量子实现。

这份 POVM 只读取密度矩阵的对角元素，因此 $|+⟩$ 与 $I/2$ 在它之下有相同的结果分布。换用 $\{|+⟩,|-⟩\}$ 基的投影测量，前者总得到 $+$，后者则以相同概率得到 $+$ 或 $-$，两态的统计差异就显现出来。

同一 POVM，不同测后状态 ​

借助谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。可以定义正平方根 $M_a=\sqrt{E_a}$。若采用这一实现，结果 $a$ 的未归一化测后态是 $M_a\rho M_a^{†}$；当 $p(a)>0$，条件态为该矩阵除以 $p(a)$。又因为 $\sum _a{M}_a^{†}{M}_a=I$，所有分支合起来保持总迹。

现在换成 $N_a=X\sqrt{E_a}$，其中 $X$ 翻转 $|0⟩,|1⟩$。仍有 $N_a^{†}{N}_a=E_a$，故所有输入的结果概率都不变。但输入 $|0⟩$ 且结果为 $0$ 时，$M_0$ 实现留下 $|0⟩$，$N_0$ 实现留下 $|1⟩$。这是 POVM 不决定测后态的直接反例。

$E_a$ 称为效应，$M_a$ 或 $N_a$ 是描述状态更新的 Kraus 算子公理库Kraus 表示Kraus representation · Operator-sum representation · 算子和表示有限维线性映射完全正当且仅当它能写成 Kraus 算子和，保持迹则等价于这些算子的完备性恒等式。，二者不能混为一谈。一般一个结果还可对应多个 Kraus 算子 $M_{a,r}$，此时 $E_a=\sum _r{M}_{a,r}^{†}{M}_{a,r}$，结果内未区分的分支也必须求和。

Bell 测量公理库Bell 测量Bell measurement · Bell-basis measurement · Bell 基测量用 CNOT 与 Hadamard 将四个 Bell 向量解码为计算基标签，并区分相同测量效应下不同的测后状态。给出一个联合测量实例：直接 Bell 投影与先逆电路再测计算基具有相同效应和标签概率，却分别留下 Bell 态与计算基态。若继续使用测后的寄存器，必须保留这个区别；若只保留标签及未测量的远端系统，二者才有相同接口。

概率条件为什么成立 ​

半正定矩阵的平方根存在，因此

再求和得到 $\sum _{a}p(a)=\mathrm{Tr}(I\rho )=1$。这说明效应的两个定义条件恰好保证对每个合法状态都产生概率分布，不必另外逐态检查。

量子查询模型公理库量子查询模型Quantum query model · Quantum black-box model将输入封装为可在叠加索引上相干调用的 oracle，并只计输入相关调用次数的有限维量子黑盒模型。只关心最后输出时，用 POVM 直接写接受概率最方便；量子通信协议公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。若测量后继续发送量子消息，则必须同时说明状态更新；忽略所有结果时，这些分支合成一个量子信道公理库量子信道Quantum channel · CPTP map · Completely positive trace-preserving map量子信道是完全正且保持迹的线性映射，描述包含噪声、测量结果遗忘和子系统丢弃的确定性量子状态变换。。对复合系统做局部测量时，偏迹公理库偏迹Partial trace · Reduced quantum state · 约化量子态偏迹将复合系统的联合密度算子映为子系统的约化态，并保留该子系统全部局部测量的概率。保证 $\mathrm{Tr}(E_a{\rho }_A)=\mathrm{Tr}((E_a\otimes I){\rho }_{AB})$，两种计算路线一致。

归一化条件保证全部结果构成一个概率分布。例如 $E_0=E_1=I/3$ 虽然各自半正定，对任意状态却只给出总概率 $2/3$，因此这两个效应还不足以构成完整测量。