矩阵

矩阵先是带两个有限索引的标量函数。把它画成数表，行列位置便于人眼追踪；把它存成稠密或稀疏数组，则便于计算机访问。两种表示都不能替代数学对象本身，因为换一种存储顺序不会改变任何 $A_{ij}$。

乘法公式把 $A$ 的一行与 $B$ 的一列沿共同指标配对并求和。它不是逐项乘法，也不是任意两个矩形都能做：形状条件正是输出列索引与下一步输入行索引能够接合。这个规则后来与线性映射复合一致，但矩阵定义本身不要求先选择某个抽象映射。

有限矩形数组只是矩阵的一种显式表示，并不要求每个线性映射都以稠密数组存储。矩阵范数公理库矩阵范数与诱导算子范数Matrix norm · Induced matrix norm · Operator norm of a matrix用诱导范数和常用可计算矩阵范数度量线性映射的放大能力，并区分算子范数、Frobenius 范数与谱半径。量化坐标表示下的向量放大或条目大小，稀疏矩阵公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix · CSR matrix · CSC matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。则只保存结构非零及其位置；选择表示会改变存储与算法成本，却不改变抽象映射本身。

取

$A$ 是 $2\times 3$，$B$ 是 $3\times 2$，所以 $AB$ 有定义且为 $2\times 2$：

$BA$ 也有定义，但形状为 $3\times 3$，因此不可能与 $AB$ 相等。若把第二个矩阵换成 $4\times 2$，共同指标 $3$ 与 $4$ 不匹配，乘法便没有定义；不能靠补零悄悄改变对象。

即使两个矩阵都是同型方阵，乘法通常也不交换。例如

满足 $PQ\ne QP$。这不是标量不交换造成的：即使条目都在交换域 $\mathbb{R}$ 中，中间指标的组合顺序仍会改变结果。

矩阵可以记录线性映射在所选基下的坐标。换基会改变矩阵，却不改变背后的映射；在非交换标量环上还必须明确左模、右模和坐标放置约定。后一问题属于坐标表示的高级边界，不应压在矩阵乘法之前。无限维映射通常需要算子语言，也不能由一张有限数表完整表示。

同一矩形函数可以在不同模型中承担不同角色。通信矩阵按双方输入索引函数值，设计矩阵按观测与特征索引数据，图 Laplacian 则把邻接与度组合成方阵。它们共享行列记法，却分别携带通信分割、统计建模或图结构语义；一个语境中的结论不会因形状相同自动迁移到另一个语境。

矩阵上能够合法进行哪些运算，取决于标量结构。半环足以定义逐项加法、乘法与单位矩阵；环再提供加法逆元，域才允许熟悉的除法消元。行列式、逆、秩、特征值与正规形各自需要更具体的形状和标量假设，应由相应后继陈述，而不是被“矩阵”一词一并保证。

数组公理库数组Array以连续整数下标支持随机访问的有限序列结构。和稀疏矩阵公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix · CSR matrix · CSC matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。回答怎样存储条目。稠密数组适合规则连续访问，稀疏表示只保存结构非零位置；二者的时间和空间成本不同，但只要对每个索引返回相同标量，就表示同一个矩阵。