形式陈述

域 $F$$F$ 上的 $m\times n$$m\times n$ 矩阵是标量数组 $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$$A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$。同型矩阵逐项相加、数乘；若 $A\in F^{m\times n}$$A\in F^{m\times n}$、$B\in F^{n\times p}$$B\in F^{n\times p}$，则乘积定义为

$$ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}, $$$$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},$$

对应线性映射的复合。给有限维向量空间 $V,W$$V,W$ 选定有序基后，每个线性映射 $T:V\to W$$T:V\to W$ 唯一表示为矩阵；更换基会左右乘可逆换基矩阵，所以矩阵依赖坐标，而线性映射本身是内在对象。方阵有单位矩阵，乘法结合但通常不交换。矩阵大小必须匹配，矩形矩阵一般无双边逆。

直觉

矩阵是线性变换在选定坐标系中的操作表：第 $j$$j$ 列记录第 $j$$j$ 个基向量被送到哪里，乘法则把两次坐标变换合成。

例子与边界

矩阵 $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ 表示 $F^2\to F^2$$F^2\to F^2$ 的线性映射。若 $A$$A$ 为 $2\times3$$2\times 3$、$B$$B$ 为 $3\times4$$3\times 4$，则 $AB$$AB$ 为 $2\times4$$2\times 4$，但 $BA$$BA$ 未定义。即使 $AB$$AB$ 与 $BA$$BA$ 都定义，它们通常不同。相同线性算子在不同基下得到相似矩阵 $P^{-1}AP$$P^{-1}AP$，不是逐项相同。矩阵也可用于表示线性方程或双线性型，语义由上下文决定。数组形状相同不保证表示同一个线性映射，还需明确域、定义域/陪域及其基。无限维线性映射通常不能由有限矩阵完整表示。

推论与应用

矩阵把抽象线性代数转成有限算术，支撑方程求解、秩、行列式、特征值和数值计算，也是图、概率与算法中的通用数据结构。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 3, matrices of linear maps and change of basis。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, matrices and linear transformations。