样条与分段多项式插值

形式陈述 ​

给定严格递增节点

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$

及数据 $y_i$。次数不超过 $m$、光滑度为 $C^k$ 的样条，是在每个区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上为次数不超过 $m$ 的多项式，并在内部节点处具有直到 $k$ 阶的连续导数的函数。分段次数本身不自动保证拼接光滑，连续条件必须单独施加。

三次插值样条 $s$ 满足

$$s(x_i)=y_i,s\in C^2[a,b],{s|}_{[x_i,x_{i+1}]}\in {\mathcal{P}}_3.$$

这些条件还不足以唯一确定 $s$，必须补两个边界条件。自然样条取 $s^{″}(a)=s^{″}(b)=0$；clamped 样条给定 $s^{\prime }(a)$ 与 $s^{\prime }(b)$；not-a-knot 条件要求最前和最后一个内部节点处三阶导数也连续，使相邻两段在该处实际上属于同一三次多项式。

令 $h_i=x_{i+1}-x_i>0$、$M_i=s^{″}(x_i)$。对内部节点，

$$h_{i-1}{M}_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)M_i+h_i{M}_{i+1}=6(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i}-\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}).$$

边界条件补齐首尾方程后得到带状或三对角线性系统公理库线性方程组System of linear equations可写为矩阵方程 Ax=b 的有限个一次方程系统。。自然边界下该系统可用三对角消元在 $O(n)$ 时间、$O(n)$ 存储内求解；构造在系统解出并形成每段系数后完成。单点求值先以二分查找定位区间，耗时 $O(\log n)$，再用常数次运算计算对应三次式。

直觉 ​

高次全局多项式像一根从头贯穿到尾的硬尺，增加或移动一个数据点会重塑整条曲线；三次样条把区间分成短段，再用一阶、二阶导数连续把各段接成没有折角和曲率跳变的曲线。低次数限制局部振荡，光滑拼接保留整体视觉和微分结构。

B-spline 基把样条空间写成局部支撑基：一个基函数只覆盖少数相邻区间，因此矩阵呈带状。需要区分的是，基函数局部并不意味着最终插值解只受局部数据影响；解系数时的全局线性系统仍会把单点改动传播到远处，只是影响通常逐渐衰减。

例子与边界 ​

同一组稠密采样若用一个很高次的全局多项式连接，端点附近可能出现大摆动；分段三次只在短区间内建模，并通过 $C^2$ 条件协调邻段，通常更稳健。若 $f\in C^4[a,b]$、网格形状受控且边界条件与问题相容，经典三次样条插值在一致范数下可达到

$$\Vert f-s{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=O(h^4),h=\underset{i}{max}{h}_i.$$

这个阶数带有光滑性、网格与边界假设，不能由“每段三次”一句话自动推出。

相同节点和值在 natural、clamped 和 not-a-knot 条件下会产生不同曲线，尤其端点附近差异明显；所以“那个 cubic spline”不是没有边界条件的唯一对象。若节点不严格递增，$h_i=0$ 会让方程失效；若间距极端悬殊，系统和导数估计也可能变得敏感。

精确插值会穿过所有噪声数据。需要在拟合程度与曲率之间权衡时，应改用 smoothing spline，其目标通常含残差项和粗糙度惩罚；它与本页的精确插值样条不是同一个问题。B-spline 是表示样条空间的一组基，也不等同于某一种边界条件下的插值解。

推论与应用 ​

样条把局部多项式公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。、光滑拼接公理库连续性Continuity · Continuous function函数在输入微小变化时输出可被控制为任意小变化的性质。和结构化线性求解连接起来。有限元也使用分片多项式空间，但其系数由变分方程决定，不应直接套用插值样条的边界条件。

实现验收应同时检查节点严格递增、边界条件明确、插值残差在节点处满足容差、内部一二阶导数连续，并对线性系统失败或非有限系数给出明确错误。只有曲线“看起来平滑”不足以证明构造正确。

参考资料

• Carl de Boor, A Practical Guide to Splines, revised ed., Springer, 2001.
• MIT OpenCourseWare, 18.330 Introduction to Numerical Analysis, spline interpolation notes.
• Larry L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory, 3rd ed., Cambridge University Press, 2007.