形式陈述

域 $F$$F$ 上含 $m$$m$ 个方程、$n$$n$ 个未知量的线性方程组可写为

$$ Ax=b, $$$$Ax=b,$$

其中 $A\in F^{m\times n}$$A\in F^{m\times n}$、$x\in F^n$$x\in F^n$、$b\in F^m$$b\in F^m$。它有解当且仅当 $b$$b$ 属于 $A$$A$ 的列空间，等价地 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}[A\mid b]$。齐次系统 $Ax=0$$Ax=0$ 的解集是核 $\ker A$$\ker A$，为线性子空间；非齐次系统若有一个特解 $x_0$$x_0$，则全部解恰为仿射集

$$ x_0+\ker A. $$$$x_0+\ker A.$$

解唯一当且仅当系统相容且 $\ker A=0$$\ker A=0$。有限维时秩—零化度给出自由参数个数 $n-\operatorname{rank}A$$n-\mathrm{rank}A$。

直觉

矩阵把每个候选向量压成若干线性测量；右端 $b$$b$ 必须是这些列的某种线性组合。一个特解确定位置，齐次解描述所有不改变测量结果的移动方向。

例子与边界

$x+y=1$$x+y=1$ 在 $\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$ 中有一条仿射直线解；加入 $x-y=0$$x-y=0$ 后唯一解为 $(1/2,1/2)$$(1/2,1/2)$。方程 $x+y=1$$x+y=1$ 与 $2x+2y=3$$2x+2y=3$ 不相容，因为增广矩阵出现矛盾行。齐次系统永远至少有零解，但不一定只有零解。未知量多于方程不自动保证非齐次系统有解，只保证齐次核在秩足够受限时有非零向量。系数域会改变答案，例如 $2x=1$$2x=1$ 在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 有解，在特征 $2$$2$ 的域中变成 $0=1$$0=1$。数值浮点求解还需考虑条件数和舍入误差，这不属于纯代数相容性。

推论与应用

线性方程组统一插值、网络流平衡、最小二乘正规方程和编码译码；其解结构是行消元与矩阵分解算法的直接目标。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 3, systems of linear equations and linear maps。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 1, linear systems, rank, and solution spaces。