Newton 非线性方程法

Newton 法在当前点用切线或切平面替代弯曲的非线性对象，然后走到这个线性模型的零点。靠近简单根时，线性部分恰好被 Newton 步抵消，剩下的是二阶 Taylor 余项，因此旧误差平方后才进入下一步。这幅图像也解释了限制：离根太远时切线可能指向错误区域，导数接近零时交点会被推得极远，Jacobian 奇异时甚至没有唯一的线性修正方向。

向量 Newton 的核心动作是“解一个局部线性问题”，不是“套一个矩阵公式”。这一区别在大规模问题中尤其重要：保留线性系统形式，才能选择适合结构的分解、迭代求解和预条件，而不必制造一个稠密逆矩阵。

简单根并不总对应恰好二阶。对 $f(x)=x+x^3$，零点处 $f^{\prime }(0)=1$、$f^{″}(0)=0$，Newton 更新为

从足够小的非零初值出发，误差满足 $|e_{k+1}|/|e_k{|}^3\to 2$，所以是 Q-三次收敛，仍满足至少二次的局部误差上界。线性函数 $f(x)=x-r$ 则一步就得到根，不属于最终误差非零的渐近比值情形。

求 $\sqrt{2}$ 可令 $f(x)=x^2-2$。从 $x_0=1$ 出发，

依次得到 $1.5,1.416666\dots ,1.414215686\dots$。简单根附近有

所以进入局部区间后正确位数迅速增加。这个例子同时是一个不动点迭代，但二次速度来自 Newton 构造令根处迭代导数为零，而不是所有不动点公式都会拥有的性质。

取实函数 $f(x)=x^{1/3}$。对任意 $x_k\ne 0$，Newton 更新化为

轨道离根越来越远；根处导数又不存在。这是“函数有根”却不满足局部二次收敛假设的真实失败，而不是容差选择问题。

若根附近可写成 $f(x)=(x-x_{\ast }{)}^{m}g(x)$，其中整数 $m>1$、$g$ 连续可微且 $g(x_{\ast })\ne 0$，普通 Newton 法一般只线性收敛，渐近因子为 $(m-1)/m$。已知重数时，修正公式 $x_{k+1}=x_k-mf(x_k)/f^{\prime }(x_k)$ 满足精确误差式

分母在根附近远离零、$g^{\prime }$ 有界，因而恢复至少二次的局部误差上界；这并不无条件保证正的二次渐近常数。只有连续的非零因子不足以提供上述导数控制。未知重数时也不能假装简单根理论仍然成立。阻尼更新 $x_{k+1}=x_k+{\alpha }_k{s}_k$ 可以限制过大的步长，但只有配合明确的接受准则和全局化条件，才比“随手取小 ${\alpha }_k$”多一层保证。

逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。解释非奇异 Jacobian 为何在根附近提供唯一局部解，Jacobian 矩阵理路Jacobian 矩阵Jacobian matrix多元映射各偏导数组成并表示其导数的矩阵。则给出每步线性化的坐标表示。Newton 法把这些局部结构变成计算过程，但不会把局部定理自动升级为任意初值的全局收敛。

Newton–Kantorovich半局部定理理路Newton–Kantorovich半局部收敛定理Newton–Kantorovich theorem · Kantorovich semilocal convergence从起点残差、起点Jacobian逆及归一化Lipschitz界计算存在半径与唯一半径，用标量控制序列证明每个Newton步可继续并给出尾界。进一步从已知起点的归一化残差和Jacobian变化上界计算两个半径：小半径控制精确Newton轨道的总行程，大开球提供根的唯一域。半径必须留在已验证的条件区域内；这一证书不能直接转移给未经误差控制的近似线性求解。

隐式时间步进、非线性边值问题和约束方程常在每个外层步骤内调用 Newton 求解。此时停止容差不能孤立选择：内层解得过粗会污染外层误差，解得远超外层精度又浪费工作。优化中的 Newton 法求的是梯度方程并使用 Hessian；信赖域法理路信赖域法的接受与半径更新Trust-region method用实际下降与预测下降的比值接受或拒绝模型步，并调整信赖半径，使局部二次模型服务于真实目标下降。还用真实函数下降检验候选，并可拒绝坏步后缩小模型半径。它的目标与全局化规则不同于本页的非线性求根。