误差度量：绝对、相对与分量误差

${10}^6$ 的近似值若偏差为 $1$，绝对误差看起来不小，相对误差却只有 ${10}^{-6}$；${10}^{-12}$ 的近似值若也偏差 ${10}^{-12}$，绝对误差极小，相对误差却达到 $1$。误差数字只有连同尺度一起读才有意义。

范数型度量把整个向量压成一个数，适合描述总体几何距离；逐分量度量保留每个坐标的相对尺度，适合某个小分量具有独立物理意义的情形。前者可能让大分量遮住小分量，后者又会在真实零附近变得苛刻；选择哪一种是问题规格的一部分，而非排版习惯。

取

先逐项相减得到 $\hat{x}-x=(0,{10}^{-12})$，因此绝对 $2$-范数误差为 ${10}^{-12}$，真值范数为 $\sqrt{1+{10}^{-24}}$。二者相除约为 ${10}^{-12}$，整体相对误差极小；但第二个分量的相对误差为 $1$。若第二个分量代表微量污染物浓度，范数型结论会掩盖最重要的失真。若验收尺度为 $a_i={10}^{-14}$、$r_i=0.01$，第二分量允许误差为 ${10}^{-14}+0.01\times {10}^{-12}=2\times {10}^{-14}$，实际误差却为 ${10}^{-12}$，归一化值 $50>1$，应判不合格。第一分量的误差为零，所以两个分量取最大值后，整个向量的验收指标也是 $50$。混合尺度把每项误差与实际容许量比较，而不是把误差数字变小。

百分比误差在真值穿过零时也会失去解释力。例如从 $1{}^{\circ }\mathrm{C}$ 变到 $2{}^{\circ }\mathrm{C}$ 可被写成“增加 $100\mathrm{\%}$”，但换成开尔文后只增加约 $0.365\mathrm{\%}$；摄氏零点是约定的平移原点，不支持比例解释。此时应使用有物理意义的绝对差，或改用确实具有比例尺度的量。

误差还不能与残差混同。对方程 $F(x)=0$，$\Vert F(\hat{x})\Vert$ 衡量近似值代回方程后的缺陷，而 $\Vert \hat{x}-x_{\ast }\Vert$ 才是解误差；二者甚至可能具有不同单位。例如 $F(x)={10}^{-8}(x-1)$，近似值 $\hat{x}=0$ 的残差只有 ${10}^{-8}$，解误差却为 $1$。把方程整体乘以 ${10}^8$ 不会改变根，却会改变残差；只有掌握尺度与逆映射的敏感性，残差才足以说明答案质量。

条件数、前向误差、后向误差和停止准则都以本页的尺度选择为前提。实验报告应在图表或公式中直接注明所用指标，例如“$2$-范数相对前向误差”或“无穷范数绝对残差”，而不是让读者猜测分母和范数。

序列收敛理路序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。只说明误差趋于零，算法比较还需要收敛阶理路迭代收敛阶Order of convergence · Q-convergence · R-convergence用相邻迭代误差的渐近幂律区分线性、超线性与二次收敛，并说明实验估阶的边界。；矩阵分解、插值和微分中的误差则会分别选择适合其结构的范数或逐分量尺度。统一术语并不意味着所有问题都用同一个数字。