Richardson 外推

形式陈述 ​

设同一目标量 $A$ 在步长 $h\to 0$ 时具有渐近展开

$$A(h)=A+c{h}^p+O(h^{p+q}),p,q>0,$$

其中 $p$ 已由理论或独立验证确定。对步长 $h$ 与 $h/2$，组合

$$R(h)=\frac{2^{p}A(h/2)-A(h)}{2^p-1}$$

恰好消去 $c{h}^p$，从而得到

$$R(h)=A+O(h^{p+q}).$$

外推依赖的是相同极限、相同主误差系数和可靠的幂次 $p$。若两次计算改变了模型、边界处理、停止容差或随机样本，代数消项就没有共同误差展开可用。

当展开按 $p,p+q,p+2q,\dots$ 递进，取几何步长 $h_j=h_0/2^j$，可构造外推表

$$R_{j,0}=A(h_j),$$$$R_{j,k}=R_{j,k-1}+\frac{R_{j,k-1}-R_{j-1,k-1}}{2^{p+(k-1)q}-1},1\le k\le j.$$

每升一列消去一个已知幂次。生成深度 $m$ 的完整表需要 $m+1$ 次基础近似；表内组合为 $O(m^2)$ 次标量运算，若只保留当前对角线则存储可降为 $O(m)$。总成本通常由最细步长的 $A(h_m)$ 决定，必须与它的网格或函数求值成本一起报告。

在单主项模型下，细网格近似自身的误差可估为

$$|A(h/2)-A|\approx \frac{|A(h/2)-A(h)|}{2^p-1}.$$

这是渐近误差估计，不是无条件严格上界。实际停止可要求最新对角线变化小于绝对—相对混合容差，同时检查相邻差值比接近预期的 $2^p$；还应设置最大层数，并在差值增大、符号无规律翻转或步长已到浮点平台时退出失败。

直觉 ​

外推把误差当作可以辨认的信号。若粗、细两个结果都带有同一种 $h^p$ 偏差，只是细网格把它缩小了 $2^p$ 倍，就能选择一组权重让这份偏差相消，留下下一阶项。它不是从两个相近数字中凭空制造精度，而是兑现一条已经知道的误差展开。

进入渐近区之前，多个误差项可能同量级；进入舍入平台之后，差值又主要反映数值噪声。只有两者之间的区间，按理论比例缩放的主误差项才清晰可辨。

例子与边界 ​

中心差分满足

$$D(h)=f^{\prime }(x)+c_2{h}^2+c_4{h}^4+O(h^6).$$

取 $p=q=2$，第一次外推得到

$$R(h)=\frac{4D(h/2)-D(h)}{3}=f^{\prime }(x)+O(h^4).$$

这里的四阶不是由两次结果“看起来接近”得出，而是由中心差分只含偶次主误差的展开保证。若边界 stencil 混入 $O(h^3)$ 项，仍套用偶次外推表便会给出错误阶数。

若误差形如 $h^p\log h$，用常数比例 $2^p$ 不能完整消去主项；若误差随 $1/h$ 振荡，相邻网格甚至可能偶然相等。函数不够光滑、网格跨过间断或迭代求解误差大于离散误差时，也不会出现所需的稳定比值。

多层外推会使用越来越大的线性组合系数，并相减彼此接近的近似值。继续填表到对角线“数字不再变化”可能只是舍入停滞；当误差估计停止按预期阶数下降时，应终止而不是无限增加层数。

推论与应用 ​

收敛阶公理库迭代收敛阶Order of convergence · Q-convergence · R-convergence用相邻迭代误差的渐近幂律区分线性、超线性与二次收敛，并说明实验估阶的边界。说明幂次的渐近含义，离散化误差公理库离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。说明 $A(h)$ 的误差来源。Romberg 积分把复合梯形规则的偶次幂展开代入本页递推，ODE 步长加倍也使用相同消项结构；每个应用仍需单独证明自己的展开和稳定区间。

可审计的外推结果应保存原始 $A(h_j)$、假定的 $p,q$、外推表、差值比和退出原因。只报告最后一格数字，会掩盖方法是否真正处在渐近区。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.9: Acceleration of Convergence.
• Lewis Fry Richardson, “The Approximate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems,” Philosophical Transactions of the Royal Society A 210, 1911.
• Josef Stoer and Roland Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, 3rd ed., Springer, 2002, extrapolation methods.