Newton–Cotes 与复合求积

形式陈述

Newton–Cotes 规则在区间 $[a,b]$ 选取等距节点 $x_i=a+ih$ ，以这些节点上的插值多项式 $p$ 代替 $f$ ，再令

Q(f)=\int_a^bp(x)\,dx =\sum_iw_if(x_i).

权重是 Lagrange 基函数的积分。节点包含 $a,b$ 时得到闭型公式；不含端点时得到开型公式。输入是被积函数、区间和面板数，输出是加权和、函数求值数，以及基于光滑性或网格加密得到的误差说明。

闭型一次插值得到单面板梯形公式，闭型二次插值得到 Simpson 公式：

T_{[a,b]}(f)=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr),

S_{[a,b]}(f)=\frac{b-a}{6} \left[f(a)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

实际计算通常不在整个区间提高等距插值次数，而是把固定低阶规则应用到许多短子区间。令 $N$ 个等长子区间的步长为 $h=(b-a)/N$ ，复合梯形公式为

T_N(f)=h\left[ \frac{f(x_0)+f(x_N)}2+ \sum_{i=1}^{N-1}f(x_i) \right].

若 $f\in C^2[a,b]$ ，存在 $\xi\in(a,b)$ 使

I(f)-T_N(f) =-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi).

复合 Simpson 要求 $N$ 为偶数，并写成

S_N(f)=\frac h3\left[ f(x_0)+f(x_N) +4\!\sum_{\substack{1\le i<N\\i\ \mathrm{odd}}}f(x_i) +2\!\sum_{\substack{2\le i<N\\i\ \mathrm{even}}}f(x_i) \right].

若 $f\in C^4[a,b]$ ，则对某个 $\xi\in(a,b)$ 有

I(f)-S_N(f) =-\frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi).

这些是固定区间上的全局误差；单面板局部余项分别按区间长度的三次和五次缩放，不能把两组指数互换。

两种复合规则都使用 $N+1$ 个不同节点，函数求值成本为 $O(N)$ ，并可流式累加到 $O(1)$ 额外存储。规则本身没有自带严格停止证书。若以 $N$ 与 $2N$ 的结果做网格加密，可在已进入 $Ch^p$ 渐近区时用

\frac{|Q_{2N}-Q_N|}{2^p-1}

估计细网格误差；停止还需混合绝对—相对容差、最大面板数、非有限函数值和网格无法继续细分等状态。

直觉

高次全局等距插值会让远处节点共同影响整条多项式，权重也可能剧烈摆动。复合求积选择另一条路线：只在短面板内相信低次近似，再把局部面积相加。缩短面板降低局部曲率或高阶导数带来的误差，同时保持权重和数据复用简单。

Simpson 公式虽然从二次插值得到，却因对称性还精确积分三次多项式。这个额外精度属于节点和权重的结构，不意味着任意提高等距插值次数都能继续稳定获益。

例子与边界

对 $2\pi$ 周期且足够光滑的函数，在 $[0,2\pi]$ 使用等距复合梯形时，Euler–Maclaurin 展开中的端点导数差会逐项抵消。若函数还在复平面某条带状区域解析，误差甚至可比任意固定代数阶下降得更快。这个表现来自周期端点匹配，不能推广到普通非周期函数。

端点奇性会产生相反效果。例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $0$ 处二阶导数无界，复合梯形的 $O(h^2)$ 证明不再适用，实际收敛阶会降低。继续按 $p=2$ 解释网格差，可能给出过于乐观的误差估计。

提高单面板 Newton–Cotes 次数时，足够高阶的闭型公式会出现大幅度或负权重。函数值中的小误差可能被正负权重放大，高次等距插值也可能振荡；因此低阶复合规则通常比一个巨大面板上的高阶公式更可控。

Simpson 规则的偶数子区间要求是公式结构的一部分。若 $N$ 为奇数，不能仅修改最后一个系数继续声称同一误差阶；应调整网格，或明确用另一条规则处理剩余区间并重新分析整体误差。

推论与应用

闭式与开式 Newton–Cotes 的代数精度及局部截断项可由Taylor 定理展开被积函数并逐项积分得到；复合公式再把各小区间余项累加为全局误差。光靠插值公式本身不能说明余项符号和阶。

求积公式提供代数精度与误差泛函的语言，Richardson 外推解释相邻网格差怎样在渐近展开成立时转成误差估计。自适应求积进一步让面板宽度随局部难度变化，而不是在整个区间同步加密。

实现应复用旧节点函数值，并分别记录面板数、函数求值数、估计误差和退出状态。只报告公式阶数而不报告端点正则性与网格，无法判断理论误差是否适用。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5: Quadrature, accessed 2026.
MIT OpenCourseWare, 18.330 Introduction to Numerical Analysis: Lecture Notes, Newton–Cotes and composite quadrature, accessed 2026.
Philip J. Davis and Philip Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press, 1984.