Newton–Cotes 与复合求积

形式陈述 ​

Newton–Cotes 规则在区间 $[a,b]$ 选取等距节点 $x_i=a+ih$，以这些节点上的插值多项式公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。 $p$ 代替 $f$，再令

$$Q(f)={\int }_a^{b}p(x)dx=\sum _i{w}_{i}f(x_i).$$

权重是 Lagrange 基函数的积分。节点包含 $a,b$ 时得到闭型公式；不含端点时得到开型公式。输入是被积函数、区间和面板数，输出是加权和、函数求值数，以及基于光滑性或网格加密得到的误差说明。

闭型一次插值得到单面板梯形公式，闭型二次插值得到 Simpson 公式：

$$T_{[a,b]}(f)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)),$$$$S_{[a,b]}(f)=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)].$$

实际计算通常不在整个区间提高等距插值次数，而是把固定低阶规则应用到许多短子区间。令 $N$ 个等长子区间的步长为 $h=(b-a)/N$，复合梯形公式为

$$T_N(f)=h[\frac{f(x_0)+f(x_N)}{2}+\sum _{i=1}^{N-1}f(x_i)].$$

若 $f\in C^2[a,b]$，存在 $\xi \in (a,b)$ 使

$$I(f)-T_N(f)=-\frac{b-a}{12}{h}^2{f}^{″}(\xi ).$$

复合 Simpson 要求 $N$ 为偶数，并写成

$$S_N(f)=\frac{h}{3}[f(x_0)+f(x_N)+4\sum _{\begin{array}{c}1\le i<N\\ i\mathrm{odd}\end{array}}f(x_i)+2\sum _{\begin{array}{c}2\le i<N\\ i\mathrm{even}\end{array}}f(x_i)].$$

若 $f\in C^4[a,b]$，则对某个 $\xi \in (a,b)$ 有

$$I(f)-S_N(f)=-\frac{b-a}{180}{h}^4{f}^{(4)}(\xi ).$$

这些是固定区间上的全局误差；单面板局部余项分别按区间长度的三次和五次缩放，不能把两组指数互换。

两种复合规则都使用 $N+1$ 个不同节点，函数求值成本为 $O(N)$，并可流式累加到 $O(1)$ 额外存储。规则本身没有自带严格停止证书。若以 $N$ 与 $2N$ 的结果做网格加密，可在已进入 $C{h}^p$ 渐近区时用

$$\frac{|Q_{2N}-Q_N|}{2^p-1}$$

估计细网格误差；停止还需混合绝对—相对容差、最大面板数、非有限函数值和网格无法继续细分等状态。

直觉 ​

高次全局等距插值会让远处节点共同影响整条多项式，权重也可能剧烈摆动。复合求积选择另一条路线：只在短面板内相信低次近似，再把局部面积相加。缩短面板降低局部曲率或高阶导数带来的误差，同时保持权重和数据复用简单。

Simpson 公式虽然从二次插值得到，却因对称性还精确积分三次多项式。这个额外精度属于节点和权重的结构，不意味着任意提高等距插值次数都能继续稳定获益。

例子与边界 ​

对 $2\pi$ 周期且足够光滑的函数，在 $[0,2\pi ]$ 使用等距复合梯形时，Euler–Maclaurin 展开中的端点导数差会逐项抵消。若函数还在复平面某条带状区域解析，误差甚至可比任意固定代数阶下降得更快。这个表现来自周期端点匹配，不能推广到普通非周期函数。

端点奇性会产生相反效果。例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $0$ 处二阶导数无界，复合梯形的 $O(h^2)$ 证明不再适用，实际收敛阶会降低。继续按 $p=2$ 解释网格差，可能给出过于乐观的误差估计。

提高单面板 Newton–Cotes 次数时，足够高阶的闭型公式会出现大幅度或负权重。函数值中的小误差可能被正负权重放大，高次等距插值也可能振荡；因此低阶复合规则通常比一个巨大面板上的高阶公式更可控。

Simpson 规则的偶数子区间要求是公式结构的一部分。若 $N$ 为奇数，不能仅修改最后一个系数继续声称同一误差阶；应调整网格，或明确用另一条规则处理剩余区间并重新分析整体误差。

推论与应用 ​

求积公式公理库数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。提供代数精度与误差泛函的语言，Richardson 外推公理库Richardson 外推Richardson extrapolation利用已知渐近误差展开组合不同步长的近似，消去主误差项并诊断是否进入渐近区。解释相邻网格差怎样在渐近展开成立时转成误差估计。自适应求积公理库自适应求积Adaptive quadrature · Adaptive integration用同一区间上的高低阶规则差估计局部误差，并把函数求值集中到尚未满足容差的区域。进一步让面板宽度随局部难度变化，而不是在整个区间同步加密。

实现应复用旧节点函数值，并分别记录面板数、函数求值数、估计误差和退出状态。只报告公式阶数而不报告端点正则性与网格，无法判断理论误差是否适用。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5: Quadrature.
• MIT OpenCourseWare, 18.330, Introduction to Numerical Analysis, Newton–Cotes and composite-quadrature notes.
• Philip J. Davis and Philip Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press, 1984.