形式陈述

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 有界。分割

$$ P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b $$$$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$

上令

$$ M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),\qquad m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x). $$$$M_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x),m_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{inf}f(x).$$

上、下 Darboux 和为

$$ U(f,P)=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1}), \qquad L(f,P)=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1}). $$$$U(f,P)=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1}),L(f,P)=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1}).$$

若

$$ \inf_PU(f,P)=\sup_PL(f,P), $$$$\underset{P}{inf}U(f,P)=\underset{P}{sup}L(f,P),$$

则 $f$$f$ Riemann 可积，共同值记为 $\int_a^bf(x)\,dx$${\int }_a^{b}f(x)dx$。等价地，对每个 $\varepsilon>0$$\epsilon >0$ 存在分割 $P$$P$ 使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$。

直觉

Riemann 积分把区间切成小段，用每段函数值的上下界夹住面积。若无论如何细化，这两种估计都能压到同一个数，积分就存在。

左端点矩形给出下和，右端点矩形给出上和；细化分割时两者夹向同一面积。

例子与边界

连续函数和单调函数在闭区间上 Riemann 可积。Dirichlet 函数 $\mathbf1_{\mathbb Q}$${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ 在每个非退化小区间上的上确界为 $1$$1$、下确界为 $0$$0$，故不可 Riemann 积。函数必须先有界；对无界函数或无限区间的“反常积分”是另一定义。

推论与应用

Riemann 积分支持线性、区间可加性和中值性质，并与定积分的经典几何解释一致。Lebesgue 判别表明有界函数 Riemann 可积当且仅当其不连续点集测度为零，但该结果依赖测度论。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 7。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 6。