Riemann 积分

Riemann 积分的出发点是"面积应当能被上下夹逼"。把区间切成小段，在每段上分别搭出盖住曲线的矩形和藏在曲线下的矩形：上和永远高估，下和永远低估，且加细分割时上和只降不升、下和只升不降。可积性说的是这两套估计最终不留缝隙，其共同极限理路极限Limit · Epsilon–delta limit用任意精度的邻近关系描述序列或函数趋向某个值。就有资格称为面积。定义里真正起作用的量是每段上的振荡 $M_i-m_i$：上下和之差恰是各段振荡的加权和，可积性要求这个加权总量能任意小；这份小量可以来自各段振荡本身很小，也可以来自大振荡只占很短的区间。这也预告了哪些函数会出问题——在每个小区间上都剧烈振荡的函数，无论怎样加细都无法压缩缝隙。

最简单的可算例子是 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上：取 $n$ 等分分割，下和为 $\sum _{i=1}^n\frac{i-1}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{n-1}{2n}$，上和为 $\frac{n+1}{2n}$，两者之差 $\frac{1}{n}\to 0$，共同极限为 $\frac{1}{2}$，故 ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$。一般地，闭区间上的连续函数可积，因为它一致连续理路一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。，可使每段振荡一致地小；单调函数也可积，因为各段振荡沿分割相消，总和被 $|f(b)-f(a)|$ 乘以网格宽度控制。绝对值同时覆盖单调递增与单调递减两种方向；若预先限定 $f$ 递增，才可把它简写成 $f(b)-f(a)$。

标准反例是 Dirichlet 函数 ${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$：由有理数与无理数的稠密性，每个非退化子区间上都有 $M_i=1$、$m_i=0$，于是对任何分割 $U-L=b-a$，缝隙永远无法闭合，故不可积。但"不连续点稠密"本身并不判死刑：Thomae 函数（将有理点写成既约分数 $p/q$、$q\ge 1$ 后取值 $1/q$，无理点取 $0$）在每个有理点不连续，却在 $[0,1]$ 上可积且积分为 $0$。

有界与有限区间是定义的前提。$1/\sqrt{x}$ 在 $(0,1]$ 上无界，不属于本定义的范围；对无界函数或无限区间使用的反常积分理路反常积分：分别截断与尾部收敛Improper integral · 广义 Riemann 积分把无穷区间或奇异端点的积分定义为有限截断的极限，区分绝对收敛、条件收敛与主值，并以尾部界给实际截断证书。是先取 Riemann 积分再取极限的另一套定义，两者不可混同。

Riemann 积分满足线性与区间可加性，并与定积分的经典几何解释一致。若被积函数还连续，则存在 $c\in [a,b]$ 使 ${\int }_a^{b}f(x)dx=(b-a)f(c)$，这才是积分中值性质的适用范围。它与微分的联结由微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。给出：连续被积函数的变上限积分可导且导数还原被积函数，从而原函数方法可用于求值。

没有可用原函数时，以有限次函数采样近似积分属于数值求积理路数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。；等距节点公式、复合规则及其误差由Newton–Cotes 与复合求积理路Newton–Cotes 与复合求积Newton-Cotes formulas · Composite quadrature在等距节点上积分插值多项式，并以低阶规则的分片复用获得可控的全局误差。处理，不属于可积性定义。

确定性拟 Monte Carlo 把单位立方上的积分与均匀测度理路均匀分布Uniform distribution在有限集合或有限正测度区域上按计数或体积等比例分配概率的分布。联系，并用星差异理路星差异与低差异序列Star discrepancy · Low-discrepancy sequence用锚定于原点的轴对齐盒测量有限点集经验分布偏离单位立方均匀分布的最坏程度。控制某些有限变差函数的积分误差。这里的误差是点集覆盖与函数变差的确定性界，不是 Riemann 可积性本身，也不等于随机 Monte Carlo 方差。

Lebesgue 判别法刻画了它的确切边界：有界函数 Riemann 可积当且仅当其不连续点集是零测度理路测度Measure在可测集合上取非负扩展实值、并对不交可数并保持可加性的函数。集；且此时它也 Lebesgue 可积理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。，两种积分值相等。Riemann 积分在与极限交换、处理高度不规则函数时的局限，正是测度论积分被发明的动机。