Gaussian 求积 | Codeboy's Blog

形式陈述

固定整数 $n\ge1$ 。设可测权 $w(x)>0$ 几乎处处成立，区间满足 $-\infty\le a<b\le+\infty$ ，可有限或无界，并假设直到 $2n$ 阶的绝对矩有限，即 $\int_a^b |x|^k w(x)\,dx<\infty$ （ $0\le k\le2n$ ）。这些条件使下面的多项式内积与平方范数有定义。目标泛函为

I_w(f)=\int_a^bf(x)w(x)\,dx.

一般权可按 Lebesgue 积分理解；适合反常 Riemann 积分的权也可采用其收敛定义。输入 $f$ 必须有合法节点值且 $I_w(f)$ 存在并有限。这是有限加权采样求积接口的一种规则，具体误差结论还需下述附加条件。

令 $\pi_n$ 是关于内积

\langle p,q\rangle_w =\int_a^bp(x)q(x)w(x)\,dx

的 $n$ 次首一正交多项式。 $\pi_n$ 有 $n$ 个位于 $(a,b)$ 内的互异实根 $x_1,\ldots,x_n$ 。以这些根为节点，存在唯一权重 $\lambda_i>0$ ，使 Gaussian 规则

G_n(f)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)

对所有次数不超过 $2n-1$ 的多项式精确。

精确性可由多项式除法看出。任意 $p\in\mathcal P_{2n-1}$ 可写成

p=\pi_nq+r, \qquad q,r\in\mathcal P_{n-1}.

正交性给出 $I_w(\pi_nq)=0$ ，而在节点处 $\pi_n(x_i)=0$ ，所以只需让规则精确积分余式 $r$ 。以 $n$ 个节点作多项式插值，精确重建 $\mathcal P_{n-1}$ 中的余式即可。权重正性可将对应 Lagrange 基的平方代入精确性关系得到。

以下导数余项单独限定为有限区间 $a<b$ 上的实值函数。若 $f\in C^{2n}[a,b]$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使

I_w(f)-G_n(f) =\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_a^b\pi_n(x)^2w(x)\,dx.

这条表达式依赖正权、区间和 $2n$ 阶光滑性；对奇性函数不能继续引用同一个导数界。

节点与权重确定后，一次积分需要 $n$ 次函数求值和 $O(n)$ 次加权求和。构造阶段可通过正交多项式的三项递推形成对称三对角 Jacobi 矩阵，再由 Golub–Welsch 算法从特征值和特征向量得到节点与权重。设置成本与函数求值成本应分开；同一权重和区间反复积分时，节点可复用。

固定 $n$ 的 Gaussian 规则没有内生停止准则。比较不同 $n$ 的结果可以形成误差估计，却不是自动严格上界，而且普通 Gauss 节点通常不嵌套，会重复函数求值。需要按容差自动终止时，应使用带可靠失败状态的自适应或嵌套扩展策略。

直觉

Newton–Cotes 先固定等距位置，再求能复制多项式的权重；Gaussian 求积同时选择节点与权重，把有限信息预算集中到多项式矩最有效的位置。正交多项式的根恰好让“节点多项式乘低次多项式”的整块误差在积分中消失，于是 $n$ 个节点获得 $2n-1$ 的最高代数精度。

这里的“最高”只针对使用 $n$ 个自由节点的一维多项式精确性。它没有说任意函数都等价于使用 $2n$ 个节点，也没有消除光滑性、权函数和浮点构造误差。

例子与边界

在 $[-1,1]$ 上取 $w(x)=1$ 。二点 Gauss–Legendre 规则的节点为 $\pm1/\sqrt3$ ，权重均为 $1$ ：

G_2(f)=f(-1/\sqrt3)+f(1/\sqrt3).

它对所有三次及以下多项式精确。例如 $f(x)=x^2$ 时得到 $2/3$ ，恰等于真积分。两端点梯形同样只用两个函数值，却只对一次多项式精确，说明节点选择改变了多项式信息预算。

边界也可用 $x^4$ 看见：真积分为 $2/5$ ，二点 Gauss 值为 $2/9$ 。超过 $2n-1$ 后没有“像四点一样精确”的保证，误差由更高导数和正交多项式范数共同决定。

有限矩还支持另一种判断：Christoffel原子界用这些矩寻找在目标点为一的最小平方多项式，认证所有正代表的单点质量上界。均匀概率的三点Gauss规则达到零点质量 $4/9$ ，却只与原测度分享给定低阶矩；其第六矩为 $3/25$ ，均匀分布为 $1/7$ 。只有明确追加使平方余量为零的高阶矩，才进入平坦矩唯一性，不能从求积准确性直接识别原分布。

固定有限区间还可以把“未知下一矩”作为目标来求锐利范围。将二点Gauss规则平移到 $[0,1]$ ，它与均匀概率共享 $m_0=1,m_1=1/2,m_2=1/3,m_3=1/4$ ，却只有 $m_4=7/36$ 。区间矩定理证明所有满足这四个已知矩的正代表恰有 $m_4\in[7/36,5/24]$ ：Gauss两点测度达到下端，端点加中点的三原子测度达到上端。均匀分布的 $1/5$ 在内部，所以求积规则在这里认证一个极值，不是在恢复原来的连续分布。

权函数或区间变化会产生不同正交族和节点。把 Legendre 节点直接用于带强权 $w(x)$ 的积分，会丢掉 Gaussian 精确性；端点奇性、强振荡和非光滑函数也可能需要变量变换或专门规则。

高阶节点与权重本身要用有限精度计算。若递推系数不准、特征值聚集或权重跨越巨大尺度，预计算误差会进入最终求积；“权重理论上为正”不能替代对实际节点表的验证。

推论与应用

Gauss–Legendre、Gauss–Hermite 与 Gauss–Laguerre 等名称对应不同区间和权函数，而不是可互换的软件选项。统一结构是正测度、正交多项式零点和 $2n-1$ 次精确性；具体页面或实现仍需声明归一化约定。

数值求积问题给出误差泛函与成本语言，自适应求积可把高低阶或 Gauss–Kronrod 规则差用作局部诊断。误差差值只有在相应渐近与光滑假设下才可解释。

比较高阶求积时，可对照Clenshaw–Curtis 求积。它对 Chebyshev–Lobatto 插值积分，节点加倍时能够嵌套复用；代数精度通常低于同节点数 Gauss 规则，实际误差仍取决于函数系数衰减和采样成本。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v): Gauss Quadrature, accessed 2026.
Gene H. Golub and John H. Welsch, “Calculation of Gauss Quadrature Rules,” Mathematics of Computation 23(106), 1969.
Walter Gautschi, Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, 2004.

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