Gaussian 求积

形式陈述 ​

设 $w(x)>0$ 几乎处处成立，并且区间 $(a,b)$ 上所需矩有限。目标泛函为

$$I_w(f)={\int }_a^{b}f(x)w(x)dx.$$

令 ${\pi }_n$ 是关于内积

$$⟨p,q{⟩}_w={\int }_a^{b}p(x)q(x)w(x)dx$$

的 $n$ 次首一正交多项式公理库正交多项式Orthogonal polynomials在带正权的函数内积下构造逐次升阶的正交多项式，并由三项递推与交错零点组织计算。。${\pi }_n$ 有 $n$ 个位于 $(a,b)$ 内的互异实根 $x_1,\dots ,x_n$。以这些根为节点，存在唯一权重 ${\lambda }_i>0$，使 Gaussian 规则

$$G_n(f)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

对所有次数不超过 $2n-1$ 的多项式精确。

精确性可由多项式除法看出。任意 $p\in {\mathcal{P}}_{2n-1}$ 可写成

$$p={\pi }_{n}q+r,q,r\in {\mathcal{P}}_{n-1}.$$

正交性给出 $I_w({\pi }_{n}q)=0$，而在节点处 ${\pi }_n(x_i)=0$，所以只需让规则精确积分余式 $r$。以 $n$ 个节点对 ${\mathcal{P}}_{n-1}$ 做插值即可。权重正性可将对应 Lagrange 基的平方代入精确性关系得到。

在适当正则性条件下，误差也有明确标签。若 $f\in C^{2n}[a,b]$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使

$$I_w(f)-G_n(f)=\frac{f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}{\int }_a^b{\pi }_n(x{)}^{2}w(x)dx.$$

这条表达式依赖正权、区间和 $2n$ 阶光滑性；对奇性函数不能继续引用同一个导数界。

节点与权重确定后，一次积分需要 $n$ 次函数求值和 $O(n)$ 次加权求和。构造阶段可通过正交多项式的三项递推形成对称三对角 Jacobi 矩阵，再由 Golub–Welsch 算法从特征值和特征向量得到节点与权重。设置成本与函数求值成本应分开；同一权重和区间反复积分时，节点可复用。

固定 $n$ 的 Gaussian 规则没有内生停止准则。比较不同 $n$ 的结果可以形成误差估计，却不是自动严格上界，而且普通 Gauss 节点通常不嵌套，会重复函数求值。需要按容差自动终止时，应使用带可靠失败状态的自适应或嵌套扩展策略。

直觉 ​

Newton–Cotes 先固定等距位置，再求能复制多项式的权重；Gaussian 求积同时选择节点与权重，把有限信息预算集中到多项式矩最有效的位置。正交多项式的根恰好让“节点多项式乘低次多项式”的整块误差在积分中消失，于是 $n$ 个节点获得 $2n-1$ 的最高代数精度。

这里的“最高”只针对使用 $n$ 个自由节点的一维多项式精确性。它没有说任意函数都等价于使用 $2n$ 个节点，也没有消除光滑性、权函数和浮点构造误差。

例子与边界 ​

在 $[-1,1]$ 上取 $w(x)=1$。二点 Gauss–Legendre 规则的节点为 $\pm 1/\sqrt{3}$，权重均为 $1$：

$$G_2(f)=f(-1/\sqrt{3})+f(1/\sqrt{3}).$$

它对所有三次及以下多项式精确。例如 $f(x)=x^2$ 时得到 $2/3$，恰等于真积分。两端点梯形同样只用两个函数值，却只对一次多项式精确，说明节点选择改变了多项式信息预算。

边界也可用 $x^4$ 看见：真积分为 $2/5$，二点 Gauss 值为 $2/9$。超过 $2n-1$ 后没有“像四点一样精确”的保证，误差由更高导数和正交多项式范数共同决定。

权函数或区间变化会产生不同正交族和节点。把 Legendre 节点直接用于带强权 $w(x)$ 的积分，会丢掉 Gaussian 精确性；端点奇性、强振荡和非光滑函数也可能需要变量变换或专门规则。

高阶节点与权重本身要用有限精度计算。若递推系数不准、特征值聚集或权重跨越巨大尺度，预计算误差会进入最终求积；“权重理论上为正”不能替代对实际节点表的验证。

推论与应用 ​

Gauss–Legendre、Gauss–Hermite 与 Gauss–Laguerre 等名称对应不同区间和权函数，而不是可互换的软件选项。统一结构是正测度、正交多项式零点和 $2n-1$ 次精确性；具体页面或实现仍需声明归一化约定。

数值求积问题公理库数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。给出误差泛函与成本语言，自适应求积公理库自适应求积Adaptive quadrature · Adaptive integration用同一区间上的高低阶规则差估计局部误差，并把函数求值集中到尚未满足容差的区域。可把高低阶或 Gauss–Kronrod 规则差用作局部诊断。误差差值只有在相应渐近与光滑假设下才可解释。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5(v): Gauss Quadrature.
• Gene H. Golub and John H. Welsch, “Calculation of Gauss Quadrature Rules,” Mathematics of Computation 23(106), 1969.
• Walter Gautschi, Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, 2004.