数值求积问题与求积公式

形式陈述 ​

一维数值求积问题给定区间 $[a,b]$、被积函数 $f$ 及可用的函数信息，目标是近似

$$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

一个含 $n$ 个节点的求积公式写成

$$Q_n(f)=\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i),$$

其中 $x_i$ 是节点，$w_i$ 是权重。输入还必须说明函数能否在端点求值、是否有导数或光滑性界、单次求值成本以及是否存在奇点；输出应包含近似值、函数求值次数，以及误差界、误差估计或“无证书”状态中的一种。

误差泛函定义为

$$E_n(f)=I(f)-Q_n(f).$$

若对所有次数不超过 $m$ 的多项式都有 $E_n(p)=0$，而对某个 $m+1$ 次多项式不再精确，则称该规则的代数精度为 $m$。代数精度只描述一个有限维多项式空间；它不能把任意不光滑、振荡或含奇点函数的误差压缩成同一个数字。

节点包含端点时称闭型规则，避开端点时称开型规则。开型规则可用于端点函数值不存在但积分仍存在的情形，闭型规则则便于跨相邻面板复用端点。若权重来自对插值多项式公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。积分，称为插值型规则；将低阶规则铺到许多子区间上，得到复合规则。每个选择都改变函数访问位置和误差传播，不能只按公式名称排序。

固定节点和权重后，一次 $Q_n$ 需要 $n$ 次函数求值、$O(n)$ 次乘加和 $O(n)$ 权重存储；若节点权重可预计算，设置成本可在多个被积函数之间复用。高维 cubature 仍是对有限样本加权，但把每个坐标的一维 $n$ 点规则做张量积会产生 $n^d$ 个点，维数 $d$ 进入成本指数。

确定性误差界必须绑定函数类。例如一个包含 $max|f^{(k)}|$ 的界只对该导数存在且有界的函数成立；比较两条规则所得的差通常只是误差估计。二者都不同于 Monte Carlo 的标准误和置信区间，不能统一写成没有标签的“误差条”。

直觉 ​

求积公式用少量探针感受整段函数，再按权重把读数组合成面积。节点决定看哪里，权重决定每次观察代表多大区域。若函数行为符合规则能够复制的多项式结构，有限探针便足够；若重要变化藏在未采样区域，代数精度再高也无法补回没有看到的信息。

因此，选择规则首先是在选择信息模型。端点、内部节点、规则网格和随机样本各自适合不同的函数先验；“更多点”只有在节点确实分辨了函数变化、误差估计也仍可信时才意味着更多信息。

例子与边界 ​

在单个区间上，中点公式与梯形公式分别为

$$M(f)=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right),$$$$T(f)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)).$$

两者都对一次多项式精确，但采样信息不同。若 $f\in C^2[a,b]$，存在相应的 ${\xi }_M,{\xi }_T$ 使

$$I(f)-M(f)=\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}({\xi }_M),$$$$I(f)-T(f)=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{″}({\xi }_T).$$

对凸函数，中点低估而梯形高估；这项符号信息来自曲率，不是所有函数都能提供。

若 $f$ 在端点有可积奇性，经典导数界可能为无穷，公式仍能运行却失去该误差证明。高度振荡函数可能在节点上恰好取相似值，窄尖峰也可能完全落在节点之间；此时应改变变量、利用已知振荡结构或采用能检测局部变化的策略，而不是把节点数机械加倍。

高维中，张量积的指数点数常比一维误差阶更早成为瓶颈。随机抽样避免固定张量网格，却把误差结论改成概率陈述；它不是同一确定性公式的无缝高维版本。

推论与应用 ​

Newton–Cotes 与复合求积公理库Newton–Cotes 与复合求积Newton-Cotes formulas · Composite quadrature在等距节点上积分插值多项式，并以低阶规则的分片复用获得可控的全局误差。固定等距节点并通过分片控制局部误差；Gaussian 求积公理库Gaussian 求积Gaussian quadrature · Gauss quadrature以正交多项式零点选择节点，使 n 个正权节点对最高 2n−1 次多项式精确积分。选择正交多项式零点以提高多项式精确性；自适应求积公理库自适应求积Adaptive quadrature · Adaptive integration用同一区间上的高低阶规则差估计局部误差，并把函数求值集中到尚未满足容差的区域。根据局部误差估计重新分配函数求值；Monte Carlo 积分公理库Monte Carlo 积分Monte Carlo integration · Monte Carlo quadrature将积分改写为随机变量期望，以独立样本均值估计并用方差和概率假设量化随机误差。则用随机变量样本均值估计积分。

这些方法共享积分对象，却不共享同一种证书。比较时应同时报告函数假设、节点生成方式、求值成本、误差标签和失败状态，而不是只比较一个光滑样例上的小数位。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5: Quadrature.
• MIT OpenCourseWare, 18.330, Introduction to Numerical Analysis, numerical-integration notes.
• Philip J. Davis and Philip Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press, 1984.