级数绝对收敛

把实级数看成数轴上向左、向右的一连串位移，$\sum |a_n|$ 就是总路程。绝对收敛要求总路程有限，因此后面所有尚未走出的步子，其总长度都能被压到任意小。无论怎样排列这些步子，尾部都受同一个量控制。条件收敛则允许总路程无限，只要求按原定次序累积的净位移趋于一个极限；正负抵消的次序于是参与决定结果。

几何级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1/2{)}^n$ 绝对收敛：绝对值级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1/2{)}^n=2$ 有限，而原级数的和为 $\frac{1}{1-(-1/2)}=2/3$。相比之下，交错调和级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}/n$ 由 Leibniz 判别法收敛（和为 $\ln 2$），但其绝对值级数是发散的调和级数，故它只是条件收敛。

Riemann 重排定理把这种区别说得更精确：条件收敛的实级数经适当重排，可以收敛到任意指定的实数，也可以发散；绝对收敛级数的每个重排则收敛到同一个和。后者的理由仍是尾部控制：先选出有限多个重要项，等重排后的部分和收齐它们，其余项造成的误差至多为剩余绝对值之和。

在赋范空间中把绝对值换成范数，便得到 $\sum _n\Vert x_n\Vert <\mathrm{\infty }$。三角不等式仍保证部分和是 Cauchy 列；空间完备时，极限也在其中。事实上，赋范空间是Banach 空间理路Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，当且仅当其中每个这样的级数都收敛。不完备空间中的部分和则可能收敛到完备化里的新元素，离开原空间。

复数方向不断旋转时，绝对收敛仍只看步长。对固定 $\theta$，

绝对收敛，因为每项模长为 $1/n^2$；因此可以任意重排、按实部虚部分组，和都不变。若 $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$，级数

由 Dirichlet 判别法收敛，但模长级数是调和级数，故只条件收敛。这里的收敛依赖方向相消，不能据此交换任意求和次序。

绝对收敛使任意重排及保持全部项的分组都不改变级数和。乘积也有相应结论：两个实或复级数中，若至少一个绝对收敛、另一个收敛，则它们的 Cauchy 乘积收敛到两和之积。

有限精度下，求和次序还会影响舍入误差。浮点求和理路浮点求和：顺序、成对与补偿Floating-point summation · Compensated summation比较顺序、成对和补偿求和的误差传播，并区分准确性、可复现性与并行代价。通过成对、补偿等方法减少累积误差；数值求积规则理路数值求积问题与求积公式Quadrature rule · Numerical integration将有限次函数采样组织为积分近似，并用代数精度、误差泛函和函数访问模型刻画规则能力。把积分近似为有限加权和，还要估计离散化造成的误差。这些误差衡量计算结果与精确值的差别。

对函数项级数，Weierstrass M 判别法理路Weierstrass M 判别法Weierstrass M-test若函数项被一个收敛数项级数逐项一致控制，则函数级数绝对且一致收敛。用可求和的统一上界控制所有点的尾部，从而得到一致收敛。幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。在收敛圆盘内部绝对收敛，并在更小的闭圆盘上一致收敛，这种局部统一控制支持逐项积分与求导。

在概率与测度论中，若 $\sum _n\mathbb{E}|X_n|<\mathrm{\infty }$，对概率测度与自然数计数测度使用Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。，先得 $\mathbb{E}\sum _n|X_n|<\mathrm{\infty }$，故绝对值级数几乎必然有限。此时再由Fubini 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。交换求和与期望理路期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。，得到 $\mathbb{E}\sum _n{X}_n=\sum _n\mathbb{E}{X}_n$。二重级数的绝对可求和性同样保证换序，是Fubini 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。的离散情形。