形式陈述

实数或复数级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 称绝对收敛，若

$$ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|<\infty. $$$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|<\mathrm{\infty }.$$

由三角不等式，任意尾和满足

$$ \left|\sum_{k=m}^{n}a_k\right|\le\sum_{k=m}^{n}|a_k|, $$$$\left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|\le \sum _{k=m}^n|a_k|,$$

故绝对收敛蕴含原级数的部分和是 Cauchy 序列，从而收敛。收敛但不绝对收敛称条件收敛。

直觉

绝对值级数控制了所有可能的符号抵消；只要总“质量”有限，原级数无论怎样相消都不能产生失控尾部。

例子与边界

几何级数 $\sum(-1/2)^n$$\sum (-1/2{)}^n$ 绝对收敛；交错调和级数 $\sum(-1)^{n+1}/n$$\sum (-1{)}^{n+1}/n$ 收敛但不绝对收敛。有限维中的绝对收敛可逐坐标理解；一般 Banach 空间中 $\sum\|x_n\|<\infty$$\sum \Vert x_n\Vert <\mathrm{\infty }$ 也推出级数收敛，但在不完备赋范空间中极限可能落在完备化之外。Riemann 重排定理表明条件收敛实级数可被重排成不同极限或发散，而绝对收敛级数的任意重排保持同一和。

推论与应用

绝对收敛支持级数逐项重排、Cauchy 乘积、函数级数的 M 判别法以及概率中期望和求和的交换。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§2.7, absolute convergence and rearrangements。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 3, series, Cauchy criterion, and absolute convergence。