Banach 空间

范数让向量空间能够量化误差，完备性则保证 Cauchy 逼近的极限仍在空间内。迭代或级数求和中，先用误差估计证明尾部彼此接近，再用完备性取得极限；这两步不能省略。极小化序列本身未必是 Cauchy 列，例如常数目标下任意振荡序列都在最小化目标；还需紧致性、曲率或其他条件才能从中取得所需极限。

有限维赋范空间总是完备的，真正的新现象主要出现在无穷维函数空间。同一个向量空间配不同范数，可以一个完备、另一个不完备；问题中的误差尺度因此属于空间选择的一部分。

${\mathbb{R}}^n$、${\mathbb{C}}^n$、序列空间 ${\ell }^p$（$1\le p\le \mathrm{\infty }$）、Lᵖ 空间理路L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。（$1\le p\le \mathrm{\infty }$，此即 Riesz–Fischer 定理）以及非空紧空间 $K$ 上配上确界范数的实值或复值连续函数空间 $C(K)$ 都是 Banach 空间。$C(K)$ 的完备性可用一致 Cauchy 判据与连续性保持理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。证明：上确界范数中的 Cauchy 列在每个点都有标量极限，对统一尾部估计取极限又得到一致收敛。极限函数仍连续，故留在 $C(K)$ 内。

完备性对范数的选取十分敏感。多项式全体配 $[0,1]$ 上的上确界范数不完备：由构造型 Weierstrass 逼近定理理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。它稠密于 $C([0,1])$，后者才是它的完备化。同一个空间 $C([0,1])$ 若改配积分范数 $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|$ 也不完备：连续函数列可以在此范数下逼近阶梯函数，构成没有连续极限的 Cauchy 列；其完备化是 $L^1([0,1])$。

子空间处也有边界：Banach 空间的线性子空间本身是 Banach 空间，当且仅当它是闭子空间；稠密的真子空间（例如 ${\ell }^1$ 中只有有限个非零坐标的序列全体）永远不完备。由于有限维赋范空间自动完备，这些现象都是纯粹无穷维的。

泛函分析的三大基石——开映射定理理路开映射定理Open mapping theoremBanach 空间之间的满射有界线性算子把开集映成开集。、闭图定理与一致有界原理理路一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。——都以 Banach 完备性为前提，经由 Baire 纲论证成立；Banach 不动点定理理路Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。同样只在完备空间中生效，具体的不动点迭代理路不动点迭代Fixed-point iteration · Picard iteration把方程改写为不动点问题后反复应用同一映射，并用压缩性控制收敛、误差与停机。另行规定更新、停止准则与失败边界。Lax–Richtmyer 等价定理理路Lax–Richtmyer 等价定理Lax-Richtmyer equivalence theorem · Lax equivalence theorem在明确的线性演化与一致性框架中，以误差递推和一致有界原理说明稳定性与收敛性为何等价。的反向证明则在共同 Banach 空间中使用一致有界原理，把逐点收敛提升为统一算子界。

有界线性算子全体 $\mathcal{B}(X,Y)$ 在 $Y$ 完备时也完备，这让算子级数有了意义，例如当 $X$ 为 Banach 空间、$T\in \mathcal{B}(X,X)$ 且 $\Vert T\Vert <1$ 时，Neumann 级数 $\sum _n{T}^n$ 收敛并给出 $(I-T{)}^{-1}$。当范数来自内积时，完备性给出 Hilbert 空间理路Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。这一最重要特例；偏微分方程与变分法中使用的 Sobolev 空间同样按 Banach 空间设计，以保证极小化序列与迭代解仍落在可控的函数类中。