形式陈述

赋范向量空间 $X$$X$ 称为 Banach 空间，若它关于范数诱导的度量完备：每个满足

$$ \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall m,n\ge N: \|x_m-x_n\|<\varepsilon $$$$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\mathrm{\forall }m,n\ge N:\Vert x_m-x_n\Vert <\epsilon$$

的 Cauchy 列都在 $X$$X$ 中收敛。等价地，只要级数满足 $\sum_n\|x_n\|<\infty$$\sum _n\Vert x_n\Vert <\mathrm{\infty }$，它就在 $X$$X$ 中收敛。任意赋范空间都有在等距同构意义下唯一的完备化。

直觉

完备性表示空间内部没有“缺失的极限点”。迭代、无穷级数和逼近过程若在误差上已经稳定，就不会被迫跳出所研究的空间。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$、$\mathbb C^n$${\mathbb{C}}^n$、$\ell^p$${\ell }^p$（$1\le p\le\infty$$1\le p\le \mathrm{\infty }$）、$L^p$$L^p$（$1\le p\le\infty$$1\le p\le \mathrm{\infty }$）以及带上确界范数的 $C(K)$$C(K)$ 都是 Banach 空间。多项式空间配备 $[0,1]$$[0,1]$ 上的上确界范数时并不完备，其完备化是 $C([0,1])$$C([0,1])$；同样，若只把 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 看作带通常距离的度量空间，它也因逼近 $\sqrt2$$\sqrt{2}$ 的有理 Cauchy 列而不完备，但它并不是本条所约定的实或复向量空间。任意有限维赋范空间完备，但闭子空间才自动继承 Banach 性；Banach 空间的非闭线性子空间通常不完备。

推论与应用

开映射定理、一致有界原理、闭图定理和不动点法都依赖 Banach 完备性。分析中把函数空间选成 Banach 空间，常是保证极限过程、微分方程迭代和变分极小列仍落在可控对象类中的关键。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 1, completeness and Banach spaces。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 1, Banach spaces, series criterion and completion。