形式陈述

内积空间 $H$$H$ 若关于内积诱导范数

$$ \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} $$$$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$$

完备，则称 Hilbert 空间。闭线性子空间 $M\subseteq H$$M\subseteq H$ 仍是 Hilbert 空间，并且每个 $x\in H$$x\in H$ 唯一分解为

$$ x=P_Mx+(x-P_Mx), \qquad P_Mx\in M, \qquad x-P_Mx\in M^\perp. $$$$x=P_{M}x+(x-P_{M}x),P_{M}x\in M,x-P_{M}x\in M^{\perp }.$$

这给出正交投影定理。一个范数来自某个内积，当且仅当满足平行四边形恒等式

$$ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2. $$$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$$

直觉

Hilbert 空间把 Euclidean 几何完整地推广到无限维：不仅能测量距离，还能使用角度、正交分解和“离闭子空间最近的点”。

例子与边界

$\ell^2$${\ell }^2$ 与 $L^2(\mu)$$L^2(\mu )$ 是典型无限维 Hilbert 空间；有限维 Euclidean/Hermitian 空间自动完备。$C([0,1])$$C([0,1])$ 配 $L^2$$L^2$ 内积并不完备，因为其 Cauchy 极限可能只是平方可积而不连续；配上确界范数虽是 Banach 空间，却不满足平行四边形恒等式，因而不是 Hilbert 空间。$L^p$$L^p$ 仅在 $p=2$$p=2$ 时由标准范数形成 Hilbert 空间。正交投影要求子空间闭；向非闭子空间的最近点可能不存在。

推论与应用

Hilbert 结构支撑 Fourier 系数、最小二乘、条件期望的 $L^2$$L^2$ 投影解释、量子力学状态空间以及自伴算子的谱理论。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 4, Hilbert spaces, orthogonal complements and projections。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 5, Hilbert spaces and projection theorem。