Hilbert 空间

内积提供角度、正交与勾股关系，完备性则保证无限逼近不会收敛到空间之外。有限维 Euclidean 几何因此能延伸到函数与序列：可以沿正交方向展开、取极限，并把最佳逼近解释为垂足。

这两个条件缺一不可。只有内积而不完备时，Cauchy 逼近可能缺少极限；只有完备范数而没有内积时，空间仍是 Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，却未必拥有正交投影和勾股几何。

${\ell }^2$ 与 $L^2(\mu )$ 是典型无限维 Hilbert 空间；任意有限维实 Euclidean 空间或复 Hermitian 空间自动完备。在 ${\ell }^2$ 中，标准基 $e_n$ 是正交规范族，任意 $x=(x_n)$ 都由部分和 $\sum _{n\le N}{x}_n{e}_n$ 在范数中逼近。

有限维空间自动完备的原因是：选定一组基后，所有范数都与 Euclidean 范数等价，Cauchy 序列可以逐坐标取极限，所得坐标仍定义空间中的向量。无限维没有“有限个坐标逐一收敛就够了”的保证，完备性才必须作为独立条件写进定义。

$C([0,1])$ 配 $L^2$ 内积并不完备，因为 Cauchy 极限可能平方可积却不连续；配上确界范数后它成为 Banach 空间，但该范数不满足平行四边形恒等式，因而不来自内积。$L^p$ 的标准范数只在 $p=2$ 时形成 Hilbert 空间。

闭性也不能从后续投影结论中删去：有限支撑序列在 ${\ell }^2$ 中稠密而不闭，对不属于它的 $x$，距离下确界为 $0$，却没有最近点。

平行四边形恒等式

刻画范数何时来自内积；满足时可用极化公式重构内积。$C([0,1])$ 的上确界范数不满足该恒等式，所以“它是完备 Banach 空间”并不足以提供 Hilbert 几何。

Hilbert 空间投影定理公理库Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。保证每个闭线性子空间都有唯一正交投影，闭性是最近点存在的关键。Riesz 表示定理公理库Hilbert 空间 Riesz 表示定理Riesz representation theorem for Hilbert spacesHilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。把连续线性泛函写成内积，谱定理进一步分解自伴算子。这三条路线分别利用最近点、对偶和算子结构，不属于 Hilbert 空间的定义公理。

变分形式与 Galerkin 方法用投影估计控制弱解离散，共轭梯度法在有限维 SPD 内积下组织误差正交；平方可积随机变量中，条件期望也可解释为到给定信息闭子空间的投影。三者共享 Hilbert 几何，但各自还需要 coercivity、有限维算法结构或概率信息等附加条件。

Fourier 展开则把正交规范族看成坐标方向。只有当该族完备时，部分和才逼近任意空间元素；“各频率彼此正交”本身并不保证没有遗漏方向。这里的完备正交族与空间的度量完备性相关，却不是同一句话，使用时必须分别核对。

平方范数还会为优化提供强凸几何，但算法稳定性仍需损失的 Lipschitz 等条件；核方法则要另加 reproducing kernel 才得到 RKHS。完备内积空间提供共同舞台，不会自动附送这些应用中的模型假设。