Hilbert 空间伴随算子

有限维中“把算子移到内积另一侧”像一次纯矩阵操作；无限维中，真正支撑这一步的是连续性。固定测试向量 $y$ 后，$x\mapsto ⟨y,Tx⟩$ 必须是连续线性泛函，Riesz 表示才能把它重新识别成某个向量。若 $T$ 无界，连续性不再遍及整个空间，哪些 $y$ 仍能产生有界泛函就决定了 $\mathcal{D}(T^{\ast })$。

因此，无限维伴随不是把共轭转置符号照搬到无穷矩阵。空间的完备性、算子的有界性与定义域共同决定伴随是否存在、定义在哪里，以及再次取伴随能否回到原算子。

在 $L^2[0,1]$ 上，乘法算子 $(Tf)(x)=m(x)f(x)$ 在 $m\in L^{\mathrm{\infty }}$ 时有界，伴随是乘以 $\bar{m}$。若形式上取微分算子 $Df=f^{\prime }$，分部积分会产生边界项；选择周期、Dirichlet 或其他定义域会改变这些边界项是否消失，也会改变 $D^{\ast }$ 的定义域。相同的微分公式配上不同定义域，可以给出不同算子。

下面取 $K=H$，讨论 $H$ 上稠密定义的算子。“对称”只要求 $⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$ 对定义域中的 $x,y$ 成立；“自伴”还要求 $T=T^{\ast }$，包括定义域相等。无界情形下二者不等价，这正是量子力学中边界条件不能省略的原因。

有界算子满足

第一式直接来自伴随恒等式；再用闭子空间正交分解理路Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。，即得第二式。闭包不能随意删除：若像不闭，正交条件只能说明目标可由像中向量任意逼近，不能保证方程 $Tx=y$ 真有解。Hilbert 空间中的正规、自伴与酉算子、算子代数以及无限维谱理论都以这个伴随为基础。

什么时候能删掉像的闭包 ​

紧算子的Fredholm择一理路紧算子的 Fredholm 择一Fredholm alternative for compact operators · Fredholm择一定理 · 紧扰动恒等算子的兼容条件证明恒等算子的紧扰动具有闭值域和指标零，用伴随齐次解准确判定有解、唯一与共振。给一个可直接使用的充分结构：若 $K$ 紧、$A=I-\lambda K$，则 $\mathrm{ran}A$ 闭，于是方程 $Au=f$ 有解恰当且仅当 $f\perp \ker A^{\ast }$，其中 $A^{\ast }=I-\bar{\lambda }{K}^{\ast }$。一般不能检查原核代替伴随核。例如 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的原核为 $(1,0)$ 的张成空间，伴随核却是 $(1,1)$ 的张成空间；其像是 $(-1,1)$ 的张成空间，可解条件实际为 $f_1+f_2=0$。这给前面的闭包警告一个真正可验算的出口。