Hilbert 空间伴随算子

形式陈述 ​

设 $H,K$ 是 Hilbert 空间，$T:H\to K$ 是有界线性算子。对每个 $y\in K$，映射 $x\mapsto ⟨Tx,y{⟩}_K$ 是 $H$ 上的连续线性泛函；由Riesz 表示定理公理库Hilbert 空间 Riesz 表示定理Riesz representation theorem for Hilbert spacesHilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。，存在唯一向量 $T^{\ast }y\in H$ 使

$$⟨Tx,y{⟩}_K=⟨x,T^{\ast }y{⟩}_H(\mathrm{\forall }x\in H).$$

这样得到的 $T^{\ast }:K\to H$ 仍有界，且 $\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$。它满足 $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$、$(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$ 与共轭线性标量规则。有限维时所有线性算子自动有界，这一构造退化为有限维伴随算子公理库伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。。

对稠密定义的无界算子 $T:\mathcal{D}(T)\subseteq H\to K$，则必须改写为

$$\mathcal{D}(T^{\ast })=\{y\in K:\mathrm{\exists }z\in H,⟨Tx,y{⟩}_K=⟨x,z{⟩}_H\mathrm{\forall }x\in \mathcal{D}(T)\},$$

并令 $T^{\ast }y=z$。稠密性保证 $z$ 唯一；定义域 $\mathcal{D}(T^{\ast })$ 本身是伴随算子的必要数据，不能只写一个形式微分表达式。

直觉 ​

有限维中“把算子移到内积另一侧”像一次纯矩阵操作；无限维中，真正支撑这一步的是连续性。固定测试向量 $y$ 后，$x\mapsto ⟨Tx,y⟩$ 必须是连续泛函，Riesz 表示才能把它重新识别成某个向量。若 $T$ 无界，连续性不再遍及整个空间，哪些 $y$ 仍能产生有界泛函就决定了 $\mathcal{D}(T^{\ast })$。

因此，无限维伴随不是把共轭转置符号照搬到无穷矩阵。空间的完备性、算子的有界性与定义域共同决定伴随是否存在、定义在哪里，以及再次取伴随能否回到原算子。

例子与边界 ​

在 $L^2[0,1]$ 上，乘法算子 $(Tf)(x)=m(x)f(x)$ 在 $m\in L^{\mathrm{\infty }}$ 时有界，伴随是乘以 $\bar{m}$。若形式上取微分算子 $Df=f^{\prime }$，分部积分会产生边界项；选择周期、Dirichlet 或其他定义域会改变这些边界项是否消失，也会改变 $D^{\ast }$ 的定义域。相同的微分公式配上不同定义域，可以给出不同算子。

“对称”只要求 $⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$ 对定义域中的 $x,y$ 成立；“自伴”还要求 $T=T^{\ast }$，包括定义域相等。无界情形下二者不等价，这正是量子力学中边界条件不能省略的原因。

推论与应用 ​

有界算子满足

$$(\mathrm{im}T{)}^{\perp }=\ker T^{\ast },\overline{\mathrm{im}T}=(\ker T^{\ast }{)}^{\perp }.$$

闭包不能随意删除：若像不闭，正交条件只能说明目标可由像中向量任意逼近，不能保证方程 $Tx=y$ 真有解。Hilbert 空间中的正规、自伴与酉算子、算子代数以及无限维谱理论都以这个伴随为基础。

参考资料

• John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Springer, 1990，adjoints of bounded operators。
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1980，unbounded operators and adjoints。