Hilbert 空间 Riesz 表示定理

一般向量与线性泛函属于不同空间；Hilbert 内积却给出一个共轭线性的等距对应，把每个连续泛函唯一“实现”为某个向量。证明先看泛函的核：若不为零，取核的正交补方向即可恢复全部取值。连续性使核成为闭子空间，完备性则保证所需正交分解存在。

若 $\phi \ne 0$，选 $x_0$ 使 $\phi (x_0)=1$。由投影定理理路Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。，令 $z=x_0-P_{\ker \phi }{x}_0$，则 $z\perp \ker \phi$ 且 $\phi (z)=1$。任意 $x$ 都可写成 $x=(x-\phi (x)z)+\phi (x)z$，第一项属于核，于是 $⟨z,x⟩=\Vert z{\Vert }^2\phi (x)$。取 $y=z/\Vert z{\Vert }^2$ 就得到表示式；$\phi =0$ 时取 $y=0$。两个表示向量之差与所有向量配对为零，取其自身作测试即得唯一性。

Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。给出 $\Vert \phi \Vert \le \Vert y\Vert$；若 $y\ne 0$，在单位向量 $y/\Vert y\Vert$ 上取到等号，便得范数相等。

在 ${\ell }^2$ 中，若 $a=(a_n)\in {\ell }^2$，则 $\phi (x)=\sum _n\overline{a_n}{x}_n=⟨a,x⟩$，且 $\Vert \phi \Vert =\Vert a{\Vert }_2$。在 $L^2$ 中连续线性泛函由与某个 $g\in L^2$ 积分配对表示。该结论依赖 Hilbert 几何；一般 Banach 空间的对偶并不与原空间自然同构，例如 $({\ell }^1{)}^{\ast }={\ell }^{\mathrm{\infty }}$。Riesz–Markov–Kakutani 表示定理理路Riesz–Markov–Kakutani 表示定理Riesz–Markov–Kakutani theorem把局部紧 Hausdorff 空间上的连续函数泛函唯一表示为 Radon 测度积分，并以总变差给出范数。则把连续函数空间上的泛函表示为测度积分；这里的代表对象是 Hilbert 空间内的向量，依赖指定内积。

在有限维 ${\mathbb{R}}^n$ 中，任何线性泛函都形如 $x\mapsto a^{T}x$，表示向量就是 $a$。在 $L^2[0,1]$ 上，

由常函数 $1$ 表示。点值映射 $f\mapsto f(0)$ 在 $L^2$ 上并非良定义连续泛函，因为函数只按几乎处处等价且可在单点任意修改。

Hilbert 空间理路Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。的内积使连续线性泛函理路有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。可由向量表示，进而定义有界 Hilbert 空间伴随算子理路Hilbert 空间伴随算子Adjoint of a bounded operator on Hilbert spaces · Hilbert space adjointHilbert 空间间有界线性算子的唯一有界伴随，以及无界算子情形必须显式携带的定义域。。正交投影理路正交投影Orthogonal projection把向量映到子空间上最近点并使误差与子空间正交的线性算子。、Fourier 系数和最优化一阶条件都可转成表示向量方程。

在变分弱问题理路变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。中，线性泛函、能量内积与表示向量的对应为 Galerkin 投影提供统一语言。这种表示也是 Hilbert 空间自反性的核心。Hahn–Banach 定理理路Hahn–Banach 定理Hahn–Banach theorem在保持控制不等式或范数的条件下把子空间上线性泛函延拓到全空间。处理的是从子空间向全空间延拓一个泛函；这里则为已经定义在整个 Hilbert 空间上的连续泛函找出唯一表示向量。一般赋范空间中延拓可能不唯一，所比较的对象与本定理固定泛函后的唯一表示不同。