Hilbert 空间 Riesz 表示定理

一般向量与线性泛函属于不同空间；Hilbert 内积却给出一个共轭线性的等距对应，把每个连续泛函唯一“实现”为某个向量。证明先看泛函的核：若不为零，取核的正交补方向即可恢复全部取值。连续性保证该方向有有限范数，完备性保证所需正交分解存在。

在 ${\ell }^2$ 中，若 $a=(a_n)\in {\ell }^2$，则 $\phi (x)=\sum _n\overline{a_n}{x}_n=⟨a,x⟩$，且 $\Vert \phi \Vert =\Vert a{\Vert }_2$。在 $L^2$ 中连续线性泛函由与某个 $g\in L^2$ 积分配对表示。该结论依赖 Hilbert 几何；一般 Banach 空间的对偶并不与原空间自然同构，例如 $({\ell }^1{)}^{\ast }={\ell }^{\mathrm{\infty }}$。不要同“Riesz–Markov 表示定理”混淆，后者把连续函数空间上的正线性泛函表示为测度。

在有限维 ${\mathbb{R}}^n$ 中，任何线性泛函都形如 $x\mapsto a^{T}x$，表示向量就是 $a$。在 $L^2[0,1]$ 上，

由常函数 $1$ 表示。点值映射 $f\mapsto f(0)$ 在 $L^2$ 上并非良定义连续泛函，因为函数只按几乎处处等价且可在单点任意修改。

Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。的内积使连续线性泛函公理库有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。可由向量表示，进而定义伴随算子公理库伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。。正交投影公理库正交投影Orthogonal projection把向量映到子空间上最近点并使误差与子空间正交的线性算子。、Fourier 系数和最优化一阶条件都可转成表示向量方程。

在变分弱问题公理库变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。中，线性泛函、能量内积与表示向量的对应为 Galerkin 投影提供统一语言。这种表示也是 Hilbert 空间自反性的核心。它与Hahn–Banach 定理公理库Hahn–Banach 定理Hahn–Banach theorem在保持控制不等式或范数的条件下把子空间上线性泛函延拓到全空间。形成对照：后者保证泛函足够多，Riesz 则精确识别 Hilbert 情形下这些泛函是什么。