形式陈述

设 $H$$H$ 为实或复 Hilbert 空间。本库约定复内积第一变量共轭线性、第二变量线性。于是对每个连续线性泛函 $\varphi:H\to\mathbb F$$\phi :H\to \mathbb{F}$，存在唯一 $y\in H$$y\in H$ 使

$$ \varphi(x)=\langle y,x\rangle\qquad(x\in H), $$$$\phi (x)=⟨y,x⟩(x\in H),$$

并且

$$ \|\varphi\|=\|y\|. $$$$\Vert \phi \Vert =\Vert y\Vert .$$

映射 $y\mapsto\langle y,\cdot\rangle$$y\mapsto ⟨y,\cdot ⟩$ 在复情形对 $y$$y$ 共轭线性，给出 $H$$H$ 与连续对偶 $H^*$$H^{\ast }$ 的反线性等距同构；若采用第一变量线性的另一种约定，表示公式的两个槽位应互换。

直觉

Hilbert 空间中的每个连续线性“探针”其实都只是同某个固定向量做内积；抽象对偶对象因此重新变成空间内的几何向量。

例子与边界

在 $\ell^2$${\ell }^2$ 中，若 $a=(a_n)\in\ell^2$$a=(a_n)\in {\ell }^2$，则 $\varphi(x)=\sum_n\overline{a_n}x_n=\langle a,x\rangle$$\phi (x)=\sum _n\overline{a_n}{x}_n=⟨a,x⟩$，且 $\|\varphi\|=\|a\|_2$$\Vert \phi \Vert =\Vert a{\Vert }_2$。在 $L^2$$L^2$ 中连续线性泛函由与某个 $g\in L^2$$g\in L^2$ 积分配对表示。该结论依赖 Hilbert 几何；一般 Banach 空间的对偶并不与原空间自然同构，例如 $(\ell^1)^*=\ell^\infty$$({\ell }^1{)}^{\ast }={\ell }^{\mathrm{\infty }}$。不要同“Riesz–Markov 表示定理”混淆，后者把连续函数空间上的正线性泛函表示为测度。

推论与应用

该定理把弱解、Fourier 系数、伴随算子和最优化的一阶条件转化为向量方程，也是 Hilbert 空间自反性及正交投影方法的核心。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 4, Riesz representation theorem for Hilbert spaces。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 5, representation of continuous linear forms on Hilbert spaces。