形式陈述

度量空间 $(X,d)$ 称为完备，若每个 Cauchy 序列 $(x_n)$ 都存在 $x\in X$ 使 $x_n\to x$。Cauchy 条件只比较序列后段各项：

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\mathrm{\forall }m,n\ge N,d(x_m,x_n)<\epsilon .$$

完备性依赖具体度量，而不只是其诱导拓扑。

直觉

Cauchy 条件表示序列内部已经决定了一个候选极限；完备性保证这个极限不会落到空间缺失的“洞”中。

例子与边界

实数空间完备；有理数空间不完备，因为逼近 $\sqrt{2}$ 的有理 Cauchy 序列在 $\mathbb{Q}$ 中无极限。完备空间的闭子空间完备，反之完备子空间在母度量空间中必闭。

推论与应用

它是 Banach 不动点定理、Banach/Hilbert 空间、完备化和迭代收敛理论的基础。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed. (2015), Cauchy sequences and completeness.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), complete metric spaces.