完备度量空间

构造极限时，人们通常先得到一串逐渐稳定的近似，却不知道答案是什么。Cauchy 条件把这种“近似之间已经互相一致”的状态表达出来。完备性负责保证：序列自己指向的极限不会落在空间之外。

“不缺极限点”比“所有序列都收敛”弱得多。序列 $x_n=n$ 在 $\mathbb{R}$ 中不是 Cauchy 序列，因此它发散并不违反 $\mathbb{R}$ 的完备性。完备性只处理那些从距离结构看本来就应该有归宿的序列。

可以把不完备空间想成一个较大完备空间中缺失了某些极限。$\mathbb{Q}$ 内部可以构造越来越精确的 $\sqrt{2}$ 近似；这些有理数彼此越来越接近，但目标点不属于 $\mathbb{Q}$。问题不在序列失控，而在空间没有容纳它决定的极限。

完备性依赖具体度量，而不是只依赖开集结构。两个度量可以诱导同一拓扑，却拥有不同的 Cauchy 序列。保持完备性通常需要更强的一致结构，而不仅是同胚。

实数轴 $\mathbb{R}$ 配通常距离是完备的，这与实数完备性公理库实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property实数作为完备有序域没有有理数式的序与极限缺口。等价。有限维 Euclidean 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 也完备；其中的闭子集配限制度量仍然完备。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 不完备。以有理初值开始 Newton 迭代

时，每一项仍为有理数，而序列在 $\mathbb{R}$ 中收敛到 $\sqrt{2}$。它在 $\mathbb{Q}$ 中是 Cauchy 序列，却没有极限。这个例子说明 Cauchy 性可以完全在子空间内部检测，而极限是否存在取决于空间是否补全。

完备空间中的闭子集必完备。反过来，任意度量空间中的完备子空间必为闭集：若子空间中的序列在外部空间收敛到某点，它同时是子空间中的 Cauchy 序列；完备性迫使极限仍在子空间内。于是开区间 $(0,1)$ 不完备，因为 $1/n$ 是其中的 Cauchy 序列，极限 $0$ 却被删掉了。

完备性不是拓扑不变量。$(0,1)$ 与 $\mathbb{R}$ 同胚，但通常 Euclidean 度量下前者不完备、后者完备。不过，$(0,1)$ 可以换用另一个诱导相同拓扑的完备度量，例如通过同胚把 $\mathbb{R}$ 的距离拉回。因而应区分“当前度量完备”与“该拓扑可以由某个完备度量诱导”。

无限维例子更能显示完备化不是简单补进少数点。令 $c_{00}$ 为所有有限支撑实序列，并使用上确界范数。取

若 $m>n$，则

所以 $(x^{(n)})$ 是 Cauchy 序列。它的极限 $(1,1/2,1/3,\dots )$ 不再具有有限支撑，因而不属于 $c_{00}$。在这一范数下，$c_{00}$ 的完备化是趋于零的序列空间 $c_0$。

完备与紧致也不能混同。任意紧度量空间都完备，但 $\mathbb{R}$ 完备而不紧。完备性保证 Cauchy 序列有极限，紧致性还要求任意序列都有收敛子列；后者同时包含全有界性这一额外的规模控制。

任何度量空间都能等距地稠密嵌入某个完备空间，其完备化在自然同构意义下唯一。实数可由有理数的 Cauchy 序列构造，$L^p$ 空间也可看作对较简单函数类按相应范数补全。完备化把“极限过程需要的新对象”系统地加入，而不会改变原空间已有的距离。

Banach 不动点定理公理库Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备度量空间上的压缩映射具有唯一不动点，且迭代以几何速度收敛。把完备性直接转化为存在唯一性。压缩映射生成的迭代序列先由收缩估计证明为 Cauchy 序列，再由完备性得到空间内的极限；连续性随后证明该极限是不动点。没有完备性时，迭代可以无限逼近一个空间外的解。

完备的赋范空间称为Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。，完备的内积空间称为Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。。开映射定理、闭图像定理和一致有界原理公理库一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。都以这种完备性为前提，并通过 Baire 纲定理把逐点信息提升为整体结论。

在微分方程与数值分析中，逐次逼近、Galerkin 近似和离散解列常先被证明为 Cauchy 序列。完备性是把误差控制转成真实解存在的最后一步；它不替代稳定性或一致估计，却决定这些估计能否在所选函数空间内闭合。