有界自伴算子谱定理

形式陈述

设 $H$ 为复 Hilbert 空间， $T\in\mathcal B(H)$ 是有界线性算子且自伴，即

\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle

（在本库的内积槽位约定下等价于 $T=T^*$ ）。则 $\sigma(T)\subseteq\mathbb R$ ，并存在定义在 $\sigma(T)$ 的唯一投影值测度 $E$ ，使

T=\int_{\sigma(T)}\lambda\,dE(\lambda).

更一般地，对连续函数 $f\in C(\sigma(T))$ 可定义

f(T)=\int f(\lambda)\,dE(\lambda),

且 $\|f(T)\|=\|f\|_\infty$ 。有限维时这退化为正交对角化；紧自伴算子还具有由特征向量组成的正交基（加上可能的零空间）。

直觉

自伴性保证不同谱区间对应的投影彼此正交，算子可以看成“在每个谱位置乘以相应实数”。有限维对角矩阵只含有限个原子谱；无限维时，投影值测度允许连续分布的谱质量。函数演算由此变得自然：先在谱上作用函数，再把各谱片重新积分。

例子与边界

在 $L^2([0,1])$ 上的乘法算子 $(Tf)(x)=x f(x)$ 有界自伴，谱为 $[0,1]$ ，却没有覆盖空间的特征向量基：几乎每个单点集合测度为零，连续谱不可压成可数对角矩阵。有限维 Hermitian 矩阵则可由酉矩阵对角化。单侧移位不是自伴，不能套用本定理。实 Hilbert 空间可通过复化得到相应版本，但投影值积分通常在复框架下陈述。

对 $T f(x)=x f(x)$ ，若 $B\subseteq[0,1]$ ，谱投影 $E(B)$ 就把 $f$ 截成 $\mathbf1_Bf$ ，并有

T=\int_{[0,1]}\lambda\,dE(\lambda).

函数 $g(\lambda)=\sqrt\lambda$ 给出正算子平方根。虽然 $T$ 没有由普通特征向量组成的基，谱表示仍然完整；把无限维谱定理误解为可数矩阵对角化会漏掉这一连续部分。

推论与应用

Hilbert 空间上的伴随算子刻画自伴性，有限维情形退化为Hermitian 矩阵谱定理。投影值积分支撑算子函数演算、平方根算子、量子测量、主成分分解与 PDE 谱方法，也与 Riesz 表示共同把抽象算子问题转成正交几何。一般有界自伴算子可以具有连续谱；紧自伴算子的非零谱则呈离散结构，这一区别决定能否把问题化成可数特征向量展开。

参考资料

Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 12, spectral theory of bounded self-adjoint operators。
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 6, self-adjoint operators and spectral resolution。

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