有界自伴算子谱定理

自伴性保证不同谱区间对应的投影彼此正交，算子可以看成“在每个谱位置乘以相应实数”。有限维对角矩阵只含有限个原子谱；无限维时，投影值测度允许连续分布的谱质量。函数演算由此变得自然：先在谱上作用函数，再把各谱片重新积分。

在 $L^2([0,1])$ 上的乘法算子 $(Tf)(x)=xf(x)$ 有界自伴，谱为 $[0,1]$，却没有覆盖空间的特征向量基：若 $Tf=\lambda f$，则 $(x-\lambda )f(x)=0$ 几乎处处，$f$ 只能支撑在单点 $\{\lambda \}$ 上，故在 $L^2$ 中必为零。谱为整个区间也可以直接检验。若 $\lambda \notin [0,1]$，乘以 $1/(x-\lambda )$ 给出有界逆；若 $\lambda \in [0,1]$，取 $I_n=[0,1]\cap (\lambda -1/n,\lambda +1/n)$ 与 $f_n={\mathbf{1}}_{I_n}/\sqrt{|I_n|}$，则 $\Vert f_n{\Vert }_2=1$ 而 $\Vert (T-\lambda I)f_n{\Vert }_2\le 1/n$，排除了有界逆。连续谱因此不能用普通特征向量列表代替。有限维 Hermitian 矩阵则可由酉矩阵对角化。单侧移位不是自伴，不能套用本定理。实 Hilbert 空间可通过复化得到相应版本，但投影值积分通常在复框架下陈述。

对 $Tf(x)=xf(x)$，若 $B\subseteq [0,1]$ 为 Borel 集，谱投影 $E(B)$ 就把 $f$ 截成 ${\mathbf{1}}_{B}f$，并有

例如 $B=[0,1/2]$ 时，$E(B)1={\mathbf{1}}_{[0,1/2]}$，其范数平方为 $1/2$。函数 $g(\lambda )=\sqrt{\lambda }$ 给出 $(g(T)f)(x)=\sqrt{x}f(x)$，平方后确实恢复 $T$，且 $\Vert g(T)\Vert =1$。虽然 $T$ 没有由普通特征向量组成的基，谱表示仍然完整；把无限维谱定理误解为可数矩阵对角化会漏掉这一连续部分。

Hilbert 空间理路Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。上的有界伴随算子理路Hilbert 空间伴随算子Adjoint of a bounded operator on Hilbert spaces · Hilbert space adjointHilbert 空间间有界线性算子的唯一有界伴随，以及无界算子情形必须显式携带的定义域。刻画自伴性，有限维情形退化为Hermitian 矩阵谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。。投影值积分支撑算子函数演算、正算子的唯一正平方根与量子测量。对单位向量 $x$，${\mu }_x(B)=⟨E(B)x,x⟩$ 是概率测度，且 $⟨Tx,x⟩=\int \lambda d{\mu }_x(\lambda )$；它把向量状态下的观测均值转成普通积分。PDE 中常见的微分算子通常无界，应用时还需处理定义域，不能直接引用本页的有界版本。一般有界自伴算子可以具有连续谱；紧自伴算子的非零谱则呈离散结构，在 $\ker T$ 的正交补上给出至多可数的特征向量展开。零空间应另行处理；若 $H$ 不可分，$\ker T$ 也可能不可分，不能把整个空间的正交基一概称为可数。

先学离散模型的入口 ​

若想从有限维正交对角化进入本页，可先读紧自伴谱定理理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。。它从最大绝对Rayleigh值构造特征向量，证明非零特征值有限重且趋于零，再排除正交余项中的非零作用。这给出 $Tx=\sum _j{\mu }_j⟨e_j,x⟩e_j$，并单独保留 $\ker T$。本页的乘法算子 $xf(x)$ 则说明为何删除紧性后仍需投影值测度；连续谱例子和原有PVM接口保持适用。