形式陈述

设 $H$$H$ 为复 Hilbert 空间，$T\in\mathcal B(H)$$T\in \mathcal{B}(H)$ 自伴，即

$$ \langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle $$$$⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩$$

（在本库的内积槽位约定下等价于 $T=T^*$$T=T^{\ast }$）。则 $\sigma(T)\subseteq\mathbb R$$\sigma (T)\subseteq \mathbb{R}$，并存在定义在 $\sigma(T)$$\sigma (T)$ 的唯一投影值测度 $E$$E$，使

$$ T=\int_{\sigma(T)}\lambda\,dE(\lambda). $$$$T={\int }_{\sigma (T)}\lambda dE(\lambda ).$$

更一般地，对连续函数 $f\in C(\sigma(T))$$f\in C(\sigma (T))$ 可定义

$$ f(T)=\int f(\lambda)\,dE(\lambda), $$$$f(T)=\int f(\lambda )dE(\lambda ),$$

且 $\|f(T)\|=\|f\|_\infty$$\Vert f(T)\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。有限维时这退化为正交对角化；紧自伴算子还具有由特征向量组成的正交基（加上可能的零空间）。

直觉

投影值测度把空间按“谱位置”连续分解。矩阵的有限个特征子空间只是这种分解的离散特例；无限维算子还可能拥有连续谱。

例子与边界

在 $L^2([0,1])$$L^2([0,1])$ 上的乘法算子 $(Tf)(x)=x f(x)$$(Tf)(x)=xf(x)$ 有界自伴，谱为 $[0,1]$$[0,1]$，却没有覆盖空间的特征向量基：几乎每个单点集合测度为零，连续谱不可压成可数对角矩阵。有限维 Hermitian 矩阵则可由酉矩阵对角化。单侧移位不是自伴，不能套用本定理。实 Hilbert 空间可通过复化得到相应版本，但投影值积分通常在复框架下陈述。

推论与应用

谱定理支撑量子可观测量、椭圆算子分析、主成分分解、函数演算和平方根算子构造；它明确区分一般有界自伴算子的连续谱与紧算子的离散谱。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 12, spectral theory of bounded self-adjoint operators。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 6, self-adjoint operators and spectral resolution。