形式陈述

在度量空间 $(X,d)$$(X,d)$ 中，序列 $(x_n)$$(x_n)$ 称为柯西序列，若

$$ \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall m,n\ge N, \qquad d(x_m,x_n)<\varepsilon. $$$$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\mathrm{\forall }m,n\ge N,d(x_m,x_n)<\epsilon .$$

每个收敛序列都是柯西序列。反过来，“每个柯西序列都收敛于 $X$$X$ 中某点”正是空间完备性的定义，并非任意度量空间中的定理。

直觉

柯西条件不预先猜测极限，而只检查序列尾部内部是否越来越聚拢。它能在极限尚未构造出来时表达“这个序列应该有一个缺失的终点”。

例子与边界

在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 的通常距离中，取逼近 $\sqrt2$$\sqrt{2}$ 的有理数序列，它是柯西序列却不在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 中收敛；在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中则收敛。只要求相邻项 $d(x_n,x_{n+1})\to0$$d(x_n,x_{n+1})\to 0$ 不足够，例如调和级数部分和满足相邻差趋零却发散。

推论与应用

柯西序列用于构造实数和度量空间完备化，也支撑级数收敛判别、Banach 不动点定理和数值逼近误差分析。完备性依赖具体度量，而不仅是底层集合。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 2。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 3。