开映射定理

线性满射可能有许多原像，但定理进一步保证小目标扰动总能由受控大小的输入扰动实现。若单位球的像薄得没有任何邻域，反复缩放也无法稳定覆盖目标空间；Baire 范畴与定义域完备性排除了这种情形。开映射性于是把纯代数的“有解”提升为分析上的“解对数据稳定”。

给 $C^1([0,1])$ 配范数 $\Vert u{\Vert }_{C^1}=\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+\Vert u^{\prime }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，目标 $C([0,1])$ 配上确界范数。微分算子 $Du=u^{\prime }$ 满足 $\Vert Du{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert u{\Vert }_{C^1}$；对任意 $f$，取 $u(t)={\int }_0^{t}f(s)ds$，由微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。有 $Du=f$ 且 $\Vert u{\Vert }_{C^1}\le 2\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。因此这里既能由定理保证开映射，也能直接构造有界右逆。

完备性不可随意删除：取恒等映射 $I:(C^1,\Vert \cdot {\Vert }_{C^1})\to (C^1,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$。它连续且双射，但目标范数下空间不完备。令 $u_n(t)=\sin \left(nt\right)/n$，则 $\Vert u_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1/n\to 0$，而 $\Vert u_n^{\prime }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$，故逆映射不连续。定理只保证开集的像开，并不说闭集的像闭。

坐标投影 $T:{\ell }^1\times {\ell }^1\to {\ell }^1$、$T(x,y)=x$ 是满射有界线性算子，且任意乘积开球的像包含相应开球。若去掉满射，闭子空间的包含映射通常不会把源空间开集送成目标空间开集。

终点练习：同一次求导的三种空间判断 ​

固定 $Du=u^{\prime }$，定义域集合为 $C^1([0,1])$，值域为 $C([0,1])$。两端的导数采用连续延伸到端点的单侧值。请完成三个判断：定义域只配 $\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 时，$D$ 的图是否闭、$D$ 是否有界？改配图范数后是否完备？把 $D$ 看成定义在 Banach 空间 $C([0,1])$ 的子空间上的算子时，为什么闭图定理仍不强迫它有界？下面给出可逐步核验的解答。

先检验闭性。 取 $u_n\in C^1([0,1])$，假设 $u_n\to u$、$u_n^{\prime }\to v$ 都在 $C([0,1])$ 的上确界范数下收敛。由微积分基本定理，

积分项的统一误差满足

故对每个 $t$ 都有 $u(t)=u(0)+{\int }_0^{t}v(s)ds$。由于 $v$ 连续，基本定理给 $u\in C^1([0,1])$ 且 $u^{\prime }=v$。这实际上证明图在较大的 $C([0,1])\times C([0,1])$ 中闭，当然也在 $(C^1,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})\times C$ 中闭。不能仅从 $u_n\to u$ 就把导数移入极限；这里第二个一致收敛假设和积分误差界共同完成了那一步。

再检验有界性。 对整数 $n\ge 1$，取

最后一个等号已由 $t=0$ 达到。因此不存在有限 $C$ 使 $\Vert Du{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le C\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 对所有 $u\in C^1$ 成立。闭图却无界并不矛盾：这时定义域虽是全部 $C^1$，但它的上确界范数不完备。一个直接的缺失极限是

各 $v_n$ 光滑，且一致误差至多 $1/n$，所以它们在上确界范数下为 Cauchy 列；极限在 $t=1/2$ 不可导，故不属于 $C^1$。

最后恢复正确的 Banach 空间。 图范数正是此前例子使用的

若 $(u_n)$ 在这个范数下为 Cauchy 列，$C([0,1])$ 的完备性分别给出 $u_n\to u$ 与 $u_n^{\prime }\to v$ 一致收敛。刚才的积分论证给 $u\in C^1$、$u^{\prime }=v$，所以 $\Vert u_n-u{\Vert }_D\to 0$。这直接证明 $C^1$ 在图范数下完备，并且 $D:(C^1,\Vert \cdot {\Vert }_D)\to C$ 有界。

这里是加强了同一集合上的误差尺度；并没有把 $(C^1,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ 按原范数作完备化。后一个完备化是 $C([0,1])$：多项式包含于 $C^1$，且由多项式一致逼近理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。在 $C$ 中稠密。上面的折角函数又证明 $C^1$ 是真子空间。因此，把 $D$ 视作 $D(D)=C^1⊊C$ 上的算子，它是稠密定义、闭而无界的；这一次外部空间与值域都完备，失败的是“定义在整个外部空间”这个条件。

这个终点还解释了为什么原有的积分右逆估计使用 $C^1$ 范数：它同时控制解和导数，恰好把稳定性放在一个已经证明完备的空间中。

定理作用于Banach 空间理路Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。之间的有界线性算子理路有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。，并解释商映射 $X\to X/\ker T$ 的稳定性。它与一致有界原理理路一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。同样依赖完备性和 Baire 思想，也常用于证明不同完备范数其实等价、解算子连续以及参数微扰不会导致无界放大。

闭图定理可由同一套 Banach 空间原理导出，而 PDE 中的先验估计常用它把“每个数据都有解”提升为解对数据的连续依赖。

这里还须先确定一个单值线性解算子，并在所选解空间与数据空间中验证闭图条件；仅仅逐个数据存在某个解，并不自动选出连续的解法。

具体地，设 $A:D(A)\subseteq X\to Y$ 是闭线性算子且为双射，$X,Y$ 为 Banach 空间。把 $D(A)$ 配上图范数后，它完备，而 $A:(D(A),\Vert \cdot {\Vert }_A)\to Y$ 有界。于是有界逆定理给出

这是一条定性的先验估计：常数存在，但最优常数仍需方程本身的信息。若方程不唯一，这个双射论证便不能直接使用。

例如正则 Sturm–Liouville 算子理路正则 Sturm–Liouville 的加权自伴谱Regular Sturm–Liouville spectrum · 正则分离边界 Sturm–Liouville 算子在加权 L² 与准确 H² 定义域上证明一般分离实边界的自伴性、紧预解和完整简单谱，并保留 Robin 负谱与零模态。在准确边界定义域上已经证明闭性。固定非谱参数 $z$ 后，$A-zI$ 仍闭：由 $u_n\to u$、$(A-zI)u_n\to g$ 得 $A{u}_n\to g+zu$，再用 $A$ 闭。其双射性则由该页的谱展开另行证明；因此上述论证说明预解为何有界地进入图范数定义域。两种图范数还满足

这只补上已有结论中的完备空间解释；闭图定理本身不证明该微分算子的谱离散、预解紧性或边界问题可解。

证明中从可数闭覆盖找到具有内部的一块，依据是Baire 范畴定理理路Baire 范畴定理Baire category theorem以嵌套闭球证明完备空间中的可数稠密开交仍稠密，并用有理数空间和零测稠密交划清边界。。其嵌套闭球证明明确指出完备性怎样保住极限；找到这块区域以后，本定理仍需线性结构和逐步逼近，不能把范畴结论直接当成开映射结论。