形式陈述

若 $X,Y$$X,Y$ 是 Banach 空间，$T\in\mathcal B(X,Y)$$T\in \mathcal{B}(X,Y)$ 为满射，则 $T$$T$ 是开映射：对每个开集 $U\subseteq X$$U\subseteq X$，$T(U)$$T(U)$ 在 $Y$$Y$ 中开。等价的定量形式是存在 $c>0$$c>0$ 使

$$ B_Y(0,c)\subseteq T(B_X(0,1)). $$$$B_Y(0,c)\subseteq T(B_X(0,1)).$$

因此，若 $T$$T$ 还是一一的，则逆映射 $T^{-1}:Y\to X$$T^{-1}:Y\to X$ 自动有界；这称有界逆定理。更一般地，商映射 $X/\ker T\to Y$$X/\ker T\to Y$ 是 Banach 空间的拓扑同构。

直觉

满射说明每个目标向量有原像；完备性和 Baire 类定理进一步排除“所有原像都极端不稳定”的可能，从而给出统一的局部可解尺度。

例子与边界

微分算子 $D:C^1([0,1])\to C([0,1])$$D:C^1([0,1])\to C([0,1])$ 配 $C^1$$C^1$ 范数是满射且开；选取积分并固定初值给出受控右逆。Banach 空间之间双射有界线性算子的逆无需另证连续。完备性不可随意删除：同一个不完备向量空间可取两个不同但可比较的范数，使恒等映射连续双射而逆不连续。定理只保证开集的像开，并不说闭集的像闭；满射条件也不可去掉。

推论与应用

开映射定理把代数可解性升级为稳定可解性，常用于证明函数空间范数等价、偏微分方程解算子的先验估计和闭图定理。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 2, open mapping and closed graph theorems。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 2, Banach–Schauder open mapping theorem。