开映射定理

线性满射可能有许多原像，但定理进一步保证小目标扰动总能由受控大小的输入扰动实现。若单位球的像薄得没有任何邻域，反复缩放也无法稳定覆盖目标空间；Baire 范畴与定义域完备性排除了这种情形。开映射性于是把纯代数的“有解”提升为分析上的“解对数据稳定”。

微分算子 $D:C^1([0,1])\to C([0,1])$ 配 $C^1$ 范数是满射且开；选取积分并固定初值给出受控右逆。Banach 空间之间双射有界线性算子的逆无需另证连续。完备性不可随意删除：同一个不完备向量空间可取两个不同但可比较的范数，使恒等映射连续双射而逆不连续。定理只保证开集的像开，并不说闭集的像闭；满射条件也不可去掉。

坐标投影 $T:{\ell }^1\times {\ell }^1\to {\ell }^1$、$T(x,y)=x$ 是满射有界线性算子，且任意乘积开球的像包含相应开球。更一般地，若 $T:X\to Y$ 双射，开映射定理说明 $T^{-1}$ 有界；这就是有界逆定理。若去掉满射，闭子空间的包含映射通常不会把源空间开集送成目标空间开集。

定理作用于Banach 空间公理库Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。之间的有界线性算子公理库有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。，并解释商映射 $X\to X/\ker T$ 的稳定性。它与一致有界原理公理库一致有界原理Uniform boundedness principle · Banach–Steinhaus theorem一族有界线性算子若逐点有界，则其算子范数一致有界。同样依赖完备性和 Baire 思想，也常用于证明不同完备范数其实等价、解算子连续以及参数微扰不会导致无界放大。

闭图定理可由同一套 Banach 空间原理导出，而 PDE 中的先验估计常用它把“每个数据都有解”提升为解对数据的连续依赖。