形式陈述

设 $X$$X$ 为 Banach 空间，$Y$$Y$ 为赋范空间，$\mathcal F\subseteq\mathcal B(X,Y)$$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{B}(X,Y)$。若对每个固定 $x\in X$$x\in X$ 都有

$$ \sup_{T\in\mathcal F}\|Tx\|<\infty, $$$$\underset{T\in \mathcal{F}}{sup}\Vert Tx\Vert <\mathrm{\infty },$$

则

$$ \sup_{T\in\mathcal F}\|T\|<\infty. $$$$\underset{T\in \mathcal{F}}{sup}\Vert T\Vert <\mathrm{\infty }.$$

也就是说，逐点有界的一族连续线性算子必在算子范数下一致有界。其常用逆否形式为：若算子范数无界，则存在某个 $x\in X$$x\in X$ 使 $\sup_T\|Tx\|=\infty$$\underset{T}{sup}\Vert Tx\Vert =\mathrm{\infty }$。

直觉

逐点条件表面上允许每个向量拥有不同的控制常数；Baire 范畴定理迫使某个球上出现统一控制，再由线性缩放把它推广到整个单位球。

例子与边界

若 $T_nx$$T_{n}x$ 对每个 $x$$x$ 都收敛，则它逐点有界，因而 $\sup_n\|T_n\|<\infty$$\underset{n}{sup}\Vert T_n\Vert <\mathrm{\infty }$；这常用于交换极限与算子作用。定义在不完备空间上的结论可能失败：在有限支撑序列空间 $c_{00}$$c_{00}$ 配 $\ell^\infty$${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数上，令 $T_n(x)=n x_n$$T_n(x)=n{x}_n$，每个固定 $x$$x$ 只有有限个非零坐标，故逐点有界，但 $\|T_n\|=n$$\Vert T_n\Vert =n$。目标空间 $Y$$Y$ 无需完备；关键完备性在定义域 $X$$X$。点态逐个有限不等于存在对所有 $x$$x$ 相同的点态界，定理正是把前者提升为算子范数界。

推论与应用

一致有界原理用于 Fourier 级数发散性、数值离散算子稳定性、弱收敛序列有界性和导数/积分算子族的控制，是泛函分析三大基本定理之一。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 2, uniform boundedness principle。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 2, Banach–Steinhaus theorem。