一致有界原理

逐点有界允许控制常数依赖向量，看起来远弱于范数一致有界；线性和完备性却使这种依赖无法在所有方向上无限恶化。若算子范数无界，就能在越来越小的尺度上构造某个向量被某些算子放大到任意大，与逐点有界矛盾。它是“很多局部界自动合成一个全局界”的典型 Baire 范畴现象。

若 $T_{n}x$ 对每个 $x$ 都收敛，则它逐点有界，因而 $\underset{n}{sup}\Vert T_n\Vert <\mathrm{\infty }$；若这些逐点极限都在 $Y$ 中存在，定义 $Tx=\underset{n}{lim}{T}_{n}x$，则线性可逐点取极限，且 $\Vert Tx\Vert \le C\Vert x\Vert$，故极限算子仍有界。定义在不完备空间上的结论可能失败：在有限支撑序列空间 $c_{00}$ 配 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数上，令 $T_n(x)=n{x}_n$，每个固定 $x$ 只有有限个非零坐标，故逐点有界，但 $\Vert T_n\Vert =n$。目标空间 $Y$ 无需完备；关键完备性在定义域 $X$。点态逐个有限不等于存在对所有 $x$ 相同的点态界，定理正是把前者提升为算子范数界。

在 $X={\ell }^1$ 上令 $T_n(x)=x_n$。对每个固定 $x\in {\ell }^1$，都有 $T_n(x)\to 0$，而

对所有 $n$ 恒成立。统一有界原理在这里确实给出范数有界，却绝不推出算子范数趋于零；从逐点收敛升级到范数收敛还需要紧性、有限维性或其他额外结构。

原则作用于Banach 空间理路Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。上的有界算子族理路有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。，与开映射定理理路开映射定理Open mapping theoremBanach 空间之间的满射有界线性算子把开集映成开集。共享 Baire 范畴机制。它可把弱收敛序列提升为范数有界，或把算子的点态收敛提升为统一算子范数界；这里的“控制”不意味着范数收敛。这一原则也在 Fourier 部分和、数值离散稳定性与算子极限中排除“每个输入都正常但最坏方向爆炸”的情形。

将逐点界写成可数闭集覆盖之后，Baire 范畴定理理路Baire 范畴定理Baire category theorem以嵌套闭球证明完备空间中的可数稠密开交仍稠密，并用有理数空间和零测稠密交划清边界。保证其中一块内部非空。该页展开嵌套球机制，并用稠密零测集说明范畴大与概率大不同，避免把本证明误读成测度论中的“几乎处处”。