赋范向量空间

向量空间允许加法与缩放，范数则给出与这两种运算相容的大小尺度。这里的向量可以是平面箭头，也可以是矩阵、序列或函数；$\Vert x-y\Vert$ 衡量用 $y$ 代替 $x$ 时的误差。

在 ${\mathbb{R}}^n$（$n\ge 1$）上，三种常用范数是

它们分别汇总总偏差、欧氏长度与最坏分量偏差。二维单位球因此分别是菱形、圆盘和与坐标轴平行的正方形：改变范数，就是改变“同样大小的一圈误差”长什么样。

范数与线性结构的相容性，使估计可以分步组合。若 $\Vert x-\tilde{x}\Vert \le \epsilon$、$\Vert y-\tilde{y}\Vert \le \delta$，则

三角不等式把两个局部误差合成总误差，这也是范数在分析与数值计算中经常出现的原因。

数域范数理路数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。中的“范数”另有所指：若 $K/\mathbb{Q}$ 的次数为 $n$，它对有理标量满足 $N(c\alpha )=c^{n}N(\alpha )$，还可能取负值。例如 $N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\sqrt{2})=-2$。这里的向量范数则取非负实值，并按 $|c|$ 一次齐次缩放；两者不能仅凭同名互换。

同一空间上的尺度是否等价 ​

同一向量空间上的两个范数等价，是指存在与 $x$ 无关的常数 $c,C>0$，使

这样的双向比较保证两者有相同的收敛序列、Cauchy 序列和完备性。常数必须同时适用于所有向量；对每个向量临时选一个常数没有这种含义。

有限维实、复向量空间上的任意两个范数都等价。例如

这说明固定有限维空间中的拓扑不依赖范数选择，却不表示各范数数值接近到可以忽略常数；维数增长时，$\sqrt{n}$ 会增长，数值条件与高维误差仍可能显著不同。

无限维中，等价性可以真正失败。在连续函数空间 $C[0,1]$ 上，

都是范数，且 $\Vert f{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。取 $n\ge 2$ 及尖峰函数

其高度为 $1$、底宽为 $2/n$，所以 $\Vert f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$ 而 $\Vert f_n{\Vert }_1=1/n$。它在积分误差下趋于零，在最大误差下却始终没有变小，因而不存在反向的统一常数界。

有范数仍可能缺少极限 ​

$C[0,1]$ 配最大范数是完备的：由一致 Cauchy 判据与连续性保持定理理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。，一致 Cauchy 的连续函数序列有一致极限，且极限仍连续。配积分范数则不完备。令

这些连续斜坡在积分意义下逼近阶跃函数 $g(t)={\mathbf{1}}_{(1/2,1]}(t)$。两者只在宽度为 $1/n$ 的上升段有差异，误差图形是高为 $1$ 的三角形，所以积分误差为 $1/(2n)$。由三角不等式，$\Vert g_n-g_m{\Vert }_1\le 1/(2n)+1/(2m)$，这在不预先假定极限属于原空间的情况下证明了 Cauchy 性。但没有连续函数能与阶跃函数几乎处处相同：连续性会迫使它在左半边恒为 $0$、右半边恒为 $1$，在中点发生矛盾。因此极限不在原来的连续函数空间中。

这个例子把“序列内部越来越接近”和“空间里有地方容纳极限”分开。补全空间能加入缺失极限，但加入的对象需要按相应零误差关系识别，不能只笼统地说“再添一些函数”。

半范数与内积都需要额外条件 ​

若只去掉“$\Vert x\Vert =0$ 推出 $x=0$”，得到半范数。例如在可积函数的向量空间上，$p(f)=\int |f|d\mu$ 是半范数：积分为零只保证 $f=0$ 几乎处处，不保证每个点都为零。把几乎处处相同的函数视为同一对象，才能消除这种零误差歧义。

对于 $1\le p<\mathrm{\infty }$，先限制为满足 $\int |f{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }$ 的函数，再按几乎处处相等取商，得到 $L^p$ 空间及范数 $\Vert [f]{\Vert }_p=(\int |f{|}^{p}d\mu {)}^{1/p}$；$p=\mathrm{\infty }$ 则使用有限的本质上确界。有限性与取商都不可省略。一般半范数也可以通过对零空间取商变成范数。

内积通过 $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ 给出范数，但不是每个范数都来自内积。判别条件是平行四边形恒等式

在 ${\mathbb{R}}^2$ 的 ${\ell }_1$ 范数下取两个标准基向量，左边为 $8$、右边为 $4$，所以这个范数不可能由内积诱导。

反复使用三角不等式可得反三角不等式：

证明只需从 $x=(x-y)+y$ 得到一个方向，再交换 $x,y$。因此范数函数本身是 $1$-Lipschitz 连续的；加法与标量乘法也与诱导拓扑相容，使赋范空间不仅有距离，还有连续的线性运算。

对赋范空间之间的线性映射 $T:V\to W$，连续性等价于存在统一常数 $M$，使 $\Vert Tx{\Vert }_W\le M\Vert x{\Vert }_V$。最小这样的界可由算子范数表示：

线性性把任意大小的输入缩放到单位球，因此只在单位球上测量就能控制全空间；这也解释了为什么在线性情形下，只检查零点连续便足够。

并非向量空间上的任意距离都来自范数。范数诱导的距离必须平移不变，并满足 $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |d(x,y)$；反过来，若一个度量满足这两项，就可定义 $\Vert x\Vert =d(x,0)$ 并由度量三角不等式验证范数公理。在非零实、复向量空间上，离散度量虽然合法，却不满足这种缩放规律：若 $x\ne 0$，则 $d(2x,0)=1\ne 2d(x,0)$。