形式陈述

域 $\mathbb F\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$$\mathbb{F}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 上向量空间 $X$$X$ 的范数是映射 $\|\cdot\|:X\to[0,\infty)$$\Vert \cdot \Vert :X\to [0,\mathrm{\infty })$，满足

$$ \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0, \qquad \|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|, \qquad \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|. $$$$\Vert x\Vert =0⟺x=0,\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert ,\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$$

赋予范数后的 $X$$X$ 称赋范向量空间。范数诱导平移不变度量

$$ d(x,y)=\|x-y\|, $$$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert ,$$

因此可讨论收敛、Cauchy 列、连续性和完备性。两个范数若存在常数 $c,C>0$$c,C>0$ 使 $c\|x\|_a\le\|x\|_b\le C\|x\|_a$$c\Vert x{\Vert }_a\le \Vert x{\Vert }_b\le C\Vert x{\Vert }_a$，则称等价，并诱导相同拓扑。

直觉

范数把“向量有多大”抽象为满足线性缩放和三角不等式的数值。它保留线性结构，又提供分析所需的距离与极限。

例子与边界

在 $\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 上，$\ell^1$${\ell }^1$、$\ell^2$${\ell }^2$、$\ell^\infty$${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 范数分别为坐标绝对值之和、平方和开方和最大绝对值。有限维空间上的任意两个范数都等价，但无限维中通常不成立：在连续函数空间中 $\|f\|_1=\int_0^1|f|$$\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|$ 与 $\|f\|_\infty$$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ 不等价，可用越来越窄的尖峰函数说明。半范数允许非零向量长度为零，必须对零空间取商后才可能得到范数。并非每个度量都来自范数；由范数诱导的度量必须兼容平移和齐次缩放。

推论与应用

赋范空间是函数逼近、数值稳定性、优化和算子理论的统一环境；范数等价性解释了有限维算法中改变范数通常只改变常数，而无限维问题会真正改变拓扑和完备化。

参考资料

• Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991，Ch. 1, normed linear spaces and linear transformations。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Ch. 1, normed spaces and basic geometry。