强凸性

普通凸性只要求图像不低于切平面，允许沿某些方向完全平坦；强凸性要求图像至少像曲率为 $\mu$ 的抛物面那样离开每个切平面。因而 $\mu$ 是统一的曲率下界：它排除宽阔平台，也阻止两个不同点同时成为极小点。这个下界与光滑性的曲率上界方向相反；强凸并不自动给梯度变化的有限上界。

强凸性把“目标值接近最优”转成“点接近最优”。若 $x^{\ast }$ 是 $f$ 在 $C$ 上的极小点且 $f$ 可微，一阶最优性给 $⟨\mathrm{\nabla }f(x^{\ast }),x-x^{\ast }⟩\ge 0$；与一阶强凸不等式合并可得

因此函数值误差趋零必然迫使迭代点趋向唯一的 $x^{\ast }$。没有这类增长条件时，函数值可以几乎不变而点在平坦解集上移动。常数还依赖范数和坐标尺度；把变量做线性变换，最合适的 $\mu$ 会改变，所以比较算法时必须同时写明几何。

令

Hessian 的最小特征值为 $2$，故 $f$ 关于欧氏范数是 $2$-强凸；沿 $e_1$ 方向二次余量正好等于 $\frac{2}{2}\Vert t{e}_1{\Vert }_2^2=t^2$，说明不能取更大的全局常数。它的梯度 Lipschitz 常数为 $8$，于是曲率比为 $8/2=4$。从 $x=(1,1)$ 到极小点 $0$，实际函数值差为 $5$，二次增长下界为 $\frac{2}{2}\Vert (1,1){\Vert }_2^2=2$；二者都能直接复算，但下界只承诺最坏方向。

严格凸不等于强凸。$x^4$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格凸，却在零点附近没有正的统一二次曲率：若存在 $\mu >0$，取 $x=t$、极小点 $0$ 会要求 $t^4\ge \mu t^2/2$，令 $t\to 0$ 即矛盾。强凸也不推出全局光滑，例如 $x^4+x^2$ 是 $2$-强凸，但二阶导数 $12x^2+2$ 无上界。反之，常数函数的梯度是 $0$-Lipschitz，却不可能以任何 $\mu >0$ 强凸。若问题只在凸约束集上讨论，强凸性及唯一性针对该集合；把函数任意外推到集合外没有必要。

若 $f$ 可微且 $\mu$-强凸，强单调性、$x^{\ast }$ 的变分不等式与对偶 Hölder 不等式给

从而 $\Vert x-x^{\ast }\Vert \le \Vert \mathrm{\nabla }f(x){\Vert }_{\ast }/\mu$。再与光滑性合用，可以把梯度残差、点误差和函数值误差相互换算，并把梯度下降的一般凸次线性率加强为几何率。此处加强的是带额外假设的收敛定理，不是强凸定义自动执行某个算法。

在统计估计中，正定二次正则项常用来补足目标的曲率并保证解唯一；在线性逆问题里，这会以偏差换取稳定性。若原目标仅凸，在欧氏范数下加入 $\frac{\lambda }{2}\Vert x{\Vert }_2^2$ 确实产生至少 $\lambda$ 的强凸性，但同时改变了优化问题，不能把正则化解冒充原问题解。约束或非欧范数下仍可使用强凸性，不过正则项的强凸常数、对偶范数、Bregman 几何和算法步长都要与所选范数一致。