强凸性

普通凸性只要求图像不低于切平面，允许沿某些方向完全平坦；强凸性要求图像至少像曲率为 $\mu$ 的抛物面那样离开每个切平面。因而 $\mu$ 是统一的曲率下界：它排除宽阔平台，也阻止两个不同点同时成为极小点。这个下界与光滑性的曲率上界方向相反；强凸并不自动给梯度变化的有限上界。

强凸性把“目标值接近最优”转成“点接近最优”。若 $x^{\ast }$ 是 $f$ 在 $C$ 上的极小点且 $f$ 可微，一阶最优性条件理路一阶最优性条件First-order optimality condition · Variational inequality optimality condition以梯度和所有可行方向的非负内积充要刻画可微凸问题的全局极小点。给 $⟨\mathrm{\nabla }f(x^{\ast }),x-x^{\ast }⟩\ge 0$；与一阶强凸不等式合并可得

因此函数值误差趋零必然迫使迭代点趋向唯一的 $x^{\ast }$。没有这类增长条件时，函数值可以几乎不变而点在平坦解集上移动。常数还依赖范数和坐标尺度；把变量做线性变换，最合适的 $\mu$ 会改变，所以比较算法时必须同时写明几何。

令

Hessian 的最小特征值为 $2$，故 $f$ 关于欧氏范数是 $2$-强凸；沿 $e_1$ 方向二次余量正好等于 $\frac{2}{2}\Vert t{e}_1{\Vert }_2^2=t^2$，说明不能取更大的全局常数。它的梯度 Lipschitz 常数为 $8$，于是曲率比为 $8/2=4$。从 $x=(1,1)$ 到极小点 $0$，实际函数值差为 $5$，二次增长下界为 $\frac{2}{2}\Vert (1,1){\Vert }_2^2=2$；二者都能直接复算，但下界只承诺最坏方向。

严格凸不等于强凸。$x^4$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格凸，却在零点附近没有正的统一二次曲率：若存在 $\mu >0$，取 $x=t$、极小点 $0$ 会要求 $t^4\ge \mu t^2/2$，令 $t\to 0$ 即矛盾。强凸也不推出全局光滑，例如 $x^4+x^2$ 是 $2$-强凸，但二阶导数 $12x^2+2$ 无上界。反之，在含两个不同点的凸集上，常数函数的梯度是 $0$-Lipschitz，却不可能以任何 $\mu >0$ 强凸；单点域上的强凸不等式则对任意 $\mu >0$ 都自动成立。强凸性只保证极小点至多一个，不保证下确界一定取到：$f(x)=x^2$ 在 $(0,1)$ 上是 $2$-强凸，却没有极小点。若问题只在凸约束集上讨论，强凸性及唯一性针对该集合；把函数任意外推到集合外没有必要。

若 $f$ 可微且 $\mu$-强凸，强单调性、$x^{\ast }$ 的变分不等式与对偶 Hölder 不等式给

从而 $\Vert x-x^{\ast }\Vert \le \Vert \mathrm{\nabla }f(x){\Vert }_{\ast }/\mu$。再与光滑性合用，可以把梯度残差、点误差和函数值误差相互换算，并把梯度下降的一般凸次线性率加强为几何率。此处加强的是带额外假设的收敛定理，不是强凸定义自动执行某个算法。

在统计估计中，正定二次正则项常用来补足目标的曲率，并在解存在时保证其唯一；在线性逆问题里，这会以偏差换取稳定性。若原目标仅凸，在欧氏范数下加入 $\frac{\lambda }{2}\Vert x{\Vert }_2^2$ 确实产生至少 $\lambda$ 的强凸性，但同时改变了优化问题，不能把正则化解冒充原问题解。约束或非欧范数下仍可使用强凸性，不过正则项的强凸常数、对偶范数、Bregman 几何和算法步长都要与所选范数一致。

PL梯度支配理路Polyak–Łojasiewicz 条件Polyak–Łojasiewicz condition · Polyak-Lojasiewicz inequality · PL inequality · 梯度支配条件以梯度范数平方控制全局目标差，允许非凸和非唯一解，并给出确定性梯度下降的几何函数值证书。则只比较梯度范数与全局目标差。可微全空间强凸性蕴含它，但反向不成立，甚至非凸的光滑函数也可能满足。它允许平坦解集，因此不能把梯度小直接换成到任意指定最小点的距离小。