形式陈述

对 $1\le p\le \mathrm{\infty }$，

$$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$$

当 $1<p<\mathrm{\infty }$ 时，将 $\int |f+g{|}^p$ 写成分别含 $f$、$g$ 的两个乘积并应用 Hölder 不等式；端点 $p=1,\mathrm{\infty }$ 直接成立。

直觉

Hölder 控制乘积，进一步保证把两个函数相加不会使 $p$ 次整体规模超过各自规模之和。

例子与边界

当 $0<p<1$ 时，通常记号 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 只给出拟范数，普通三角不等式失败。等号条件也依赖函数方向与支撑。

推论与应用

它使 $L^p$ 成为赋范空间，并支撑完备性、卷积估计和积分算子分析。

参考资料

• Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis (2020), Minkowski inequality.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), Lp norm triangle inequality.