Minkowski 不等式

逐点三角不等式只告诉我们每个位置上 $f$ 与 $g$ 的和不超过绝对值之和。Minkowski 进一步说明，先取 $p$ 次幂、在整个空间上积分、再开 $p$ 次根之后，这种“长度”仍然满足三角不等式。积分与非线性幂运算并不交换，因此这一步并非逐点不等式的形式替换。

证明揭示了 Hölder 与 Minkowski 的分工。Hölder 控制乘积积分，把一项拆成“输入大小”与“总和大小”的乘积；Minkowski 再把这种控制转化为加法下的范数估计。前者解释对偶指数，后者使 $L^p$ 真正成为线性空间上的长度结构。

几何上，Minkowski 等价于 $L^p$ 单位球的凸性。若 $\Vert f{\Vert }_p,\Vert g{\Vert }_p\le 1$，则对 $0\le t\le 1$，

当 $1<p<\mathrm{\infty }$ 时，单位球严格凸；两个非零函数取等号，要求它们几乎处处同向并保持固定比例。若空间含有两个支撑不交的非零方向，$p=1$ 的单位球便有非平凡边界线段，等号情形更宽。

若 $f,g\in L^p$ 的支撑几乎处处不交，则

因此，只要 $1<p<\mathrm{\infty }$ 且两者都不是几乎处处的零函数，便有

这不是因为某个具体数值碰巧变小，而是因为严格凸性惩罚了两个独立方向的叠加。到 $p=1$ 时，上式恰好变成等号，显示端点几何确实不同。

若 $g=cf$ 且 $c\ge 0$，则两个函数处处同向，

对 $1<p<\mathrm{\infty }$，若两个函数的范数都有限且非零，取等号当且仅当存在常数 $c>0$ 使 $g=cf$ 几乎处处成立。任一个函数几乎处处为零时也取等号。若两个非零函数相位相反，逐点相消会使左侧更小。

门槛 $p\ge 1$ 不能删除。对 $0<p<1$，公式

只给出拟范数。若 $f,g$ 支撑不交且范数均为 $1$，则

三角不等式失败。仍然成立的是

它反映 $t^p$ 在 $0<p<1$ 时的次可加性，而不是凸性。

Minkowski 是\(L^p\) 空间理路L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。成为赋范向量空间理路赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。的关键一步。非负性与齐次性来自定义，三角不等式则完全依赖本定理；再结合 Riesz–Fischer 完备性，$L^p$ 成为Banach 空间理路Banach 空间Banach space关于范数诱导度量完备的赋范向量空间。。

在概率论中，取 $1\le p<\mathrm{\infty }$，若随机变量 $X,Y$ 具有有限 $p$ 阶矩，则

因此有限 $p$ 阶矩的随机变量对加法封闭，矩估计可以沿随机和逐项累积。

Minkowski 还有积分版本。设 $(X,\mathcal{A},\mu )$、$(Y,\mathcal{B},\nu )$ 为 $\sigma$-有限测度空间，$F:X\times Y\to \mathbb{C}$ 对 $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$ 可测，$1\le p<\mathrm{\infty }$，并假设

则 ${\int }_Y|F(x,y)|d\nu (y)$ 对 $\mu$-几乎处处的 $x$ 有限；在例外零测集上补零后，内层积分定义一个 $L^p(\mu )$ 函数，且

它把“参数积分”看成连续版本的向量求和：先对每个 $y$ 取得一个 $L^p(X)$ 向量，再对这些向量积分。该形式用于估计卷积、积分算子和随机积分，并与 Hölder 共同导出 Young 卷积不等式。

先证明内层积分存在，能避免用一个尚未定义的函数去套范数。记 $G(x)={\int }_Y|F(x,y)|d\nu (y)$。$p=1$ 时，Tonelli 定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。直接给出 ${\int }_{X}Gd\mu =K$。若 $p>1$，取有限测度集 $E_n\uparrow X$，令 $G_n={\mathbf{1}}_{E_n}min(G,n)$。当 $\Vert G_n{\Vert }_p>0$ 时，令 $h_n=G_n^{p-1}/\Vert G_n{\Vert }_p^{p-1}$，则 $\Vert h_n{\Vert }_q=1$。Tonelli 与 Hölder 给出

零范数的情况无需相除。再由单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。，$\Vert G{\Vert }_p\le K$，因此 $G$ 几乎处处有限；最后才由 $|{\int }_{Y}Fd\nu |\le G$ 得到显示的不等式。