L^p 空间

$L^p$ 范数用积分衡量函数的整体大小。$p=1$ 只计总质量，$p$ 越大越强调高峰，$p=\mathrm{\infty }$ 则只看本质最大值。

按几乎处处相等取商不是技术装饰，而是被范数逼出来的。积分看不见零测集；若不取商，$\Vert f{\Vert }_p=0$ 只能推出 $f$ 几乎处处为零，$\Vert \cdot {\Vert }_p$ 仍是半范数。于是 $L^p$ 的元素是函数等价类，逐点取值一般不再良定义。

取商失去逐点语义，却换来稳定的完备空间。Cauchy 列的极限仍留在 $L^p$ 中，这正是 Riemann 可积函数类等较窄空间通常无法提供的闭合性。

在 $[0,1]$ 上取 $f(x)=x^{-1/2}$。积分 ${\int }_0^1{x}^{-p/2}dx$ 收敛当且仅当 $p<2$，故 $f\in L^p$ 恰好对 $1\le p<2$ 成立，而 $f\notin L^2$。

有限测度空间上，$q>p$ 时由 Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。得到 $L^q\subseteq L^p$。无限测度空间没有这个统一方向：$x^{-1}{\mathbf{1}}_{[1,\mathrm{\infty })}\in L^2\setminus L^1$，而 $x^{-1/2}{\mathbf{1}}_{(0,1)}\in L^1\setminus L^2$。计数测度下的序列空间又满足 $p\le q$ 时 ${\ell }^p\subseteq {\ell }^q$，所以任何包含关系都必须连同测度空间说明。

$0<p<1$ 时，同一公式只定义准范数。在两点计数测度上取 $f=(1,0)$、$g=(0,1)$，有 $\Vert f+g{\Vert }_p=2^{1/p}>2=\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$，三角不等式失效，所得空间不是赋范空间。

本质上确界也可能严格小于普通上确界。${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ 在 $[0,1]$ 上的上确界为 $1$，但它几乎处处为零，故 $\Vert {\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$，在 $L^{\mathrm{\infty }}$ 中就是零元。出于同样原因，等价类在某个指定点的取值一般没有意义；选取连续代表元需要额外论证。

Minkowski 与 Riesz–Fischer 分别给出范数和完备性，使 $L^p$ 成为 Banach 空间。Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。控制配对 $\int fg$；在适当的 $\sigma$-有限条件下，$1<p<\mathrm{\infty }$ 的对偶可由共轭指数 $q$ 的 $L^q$ 表示。有限测度上的包含关系、对偶性与插值都需要各自的测度和指数条件，不能从符号 $L^p$ 自动读出。

Fourier 变换先在 $L^1$ 上由绝对收敛积分定义，再由 Plancherel 定理延拓到 $L^2$；PDE 的弱解进一步进入 Sobolev 空间。概率论中，“$p$ 阶矩有限”正是随机变量属于 $L^p(\mathrm{\Omega },\mathbb{P})$。这些领域共享几乎处处等价类与积分范数，却不会让点值、连续代表元或额外导数凭空变得良定义。