形式陈述

在测度空间 $(X,\mathcal A,\mu)$$(X,\mathcal{A},\mu )$ 上，对 $1\le p<\infty$$1\le p<\mathrm{\infty }$，定义

$$ \|f\|_p=\left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}, $$$$\Vert f{\Vert }_p={({\int }_X|f{|}^{p}d\mu )}^{1/p},$$

$L^p(X,\mu)$$L^p(X,\mu )$ 是所有 $\|f\|_p<\infty$$\Vert f{\Vert }_p<\mathrm{\infty }$ 的可测函数按 a.e. 相等取商所得空间。对 $p=\infty$$p=\mathrm{\infty }$，

$$ \|f\|_\infty=\operatorname*{ess\,sup}|f|, $$$$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{ess}\sup |f|,$$

即忽略零测集后的最小本质上界。Minkowski 不等式给出三角不等式，所有 $L^p$$L^p$（$1\le p\le\infty$$1\le p\le \mathrm{\infty }$）都是 Banach 空间；$L^2$$L^2$ 还由内积 $\int\overline f g$$\int \bar{f}g$ 成为 Hilbert 空间。

直觉

$L^p$$L^p$ 用积分衡量函数整体大小，并把只在零测集上不同的代表视为同一点。参数 $p$$p$ 越大，范数越强调高峰；$p=\infty$$p=\mathrm{\infty }$ 只看本质最大值。

例子与边界

在有限测度空间中，$q>p$$q>p$ 时 $L^q\subseteq L^p$$L^q\subseteq L^p$；在无限测度空间上一般没有这种包含关系。单个等价类没有确定的逐点值，因此“在某点取值”需选择代表。对 $0<p<1$$0<p<1$，相同公式定义准范数但三角不等式失效，所得空间不是赋范空间。$L^\infty$$L^{\mathrm{\infty }}$ 的本质上确界可小于普通上确界，例如只在一个零测点取巨大值的函数。

推论与应用

$L^p$$L^p$ 是 Fourier 分析、概率矩、PDE 弱解、优化和泛函分析的基本环境；Hölder 对偶把 $L^p$$L^p$ 与 $L^q$$L^q$ 配对，其中 $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，Ch. 6, Lp spaces and completeness。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 3, Lp spaces, Hölder, and Minkowski inequalities。