Plancherel 定理

Fourier 变换改变描述函数的坐标，却不改变总能量。时空域中分散的振荡被重新排列到频域，平方积分总量保持不变；两个函数之间的角度与相关关系也一并保存。因此频域不是近似或压缩后的次级视图，而是同一个 Hilbert 空间理路Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。的酉坐标表示。

定理的关键还在“延拓”。$L^2$ 函数可能不可积，原始 Fourier 积分甚至没有逐点意义；但可用同时属于 $L^1$ 与 $L^2$ 的函数逼近它们，变换后的序列因等距性在 $L^2$ 中收敛，极限与逼近选择无关。这给出了严格而无需逐点公式的变换。

Gaussian $e^{-\pi x^2}$ 同时属于 $L^1\cap L^2$ 且在本页归一化下变换为自身，范数保持可直接验证。例如 $g(x)=(1+|x|{)}^{-3/4}$ 满足 $\Vert g{\Vert }_2^2=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(1+x{)}^{-3/2}dx=4$，但 $\int |g|=\mathrm{\infty }$。它的变换仍作为 $L^2$ 等价类存在，却不能直接由绝对收敛积分逐点定义。

Plancherel 不是点态收敛或逐点反演定理。$L^2$ 中两个函数只需几乎处处相等，因此其 Fourier 变换也只确定到零测集。它也不自动推出变换后连续或趋于零；这些性质来自 $L^1$ 假设。周期函数 Fourier 级数中的 Parseval 等式是离散频率的对应结果，但求和、积分与归一化不可混写。

等距性允许在频域估计函数而不损失 $L^2$ 控制。微分算子的 $L^2$ 范数可转化为频率乘子的加权积分，成为 Sobolev 空间与线性偏微分方程的基础；卷积算子也可借助乘子界研究稳定性。

Fourier 乘子理路Fourier 乘子与平方可积估计Fourier multiplier · L2 Fourier multiplier把频域逐点乘法搬回函数空间，证明L2乘子范数恰为符号的本质上确界，并用一个有界逆乘子构造二阶弱解。完整证明了这一接口：由酉性得到上界，再用集中在高符号区域的频带函数取得反向界，得出精确算子范数。该页进一步证明整数阶 Sobolev 空间的频域刻画，并用 Gaussian 核验 $(1-\mathrm{\Delta }{)}^{-1}$ 的二阶估计。

Fourier 变换理路Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。先在 $L^1$ 上给出经典积分，Plancherel 将它扩展到平方可积的 Hilbert 空间。Fourier 级数理路Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。中的能量分解与本定理共享正交投影视角，但前者频率离散、后者连续。

对于频带[−B,B]内的连续代表，采样能量等式理路Whittaker–Shannon采样定理Whittaker-Shannon sampling theorem · Nyquist-Shannon sampling theorem · 带限采样定理 · Shannon sampling theorem从有限频带的正交展开恢复整实线函数，核清采样步长、连续代表、能量等式和一致误差，并区分平方可和噪声与逐样本有界噪声。把本页的积分范数进一步写成h倍样本平方和。误差反演使用本页酉性；逐点与一致结论还要用共同有限频带的积分估计。若噪声只逐项有界而不平方可和，不能从这份L2等距性直接读出不随样本数增长的误差常数。