Plancherel 定理

形式陈述 ​

沿用本库的归一化

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^d}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx.$$

若 $f\in L^1({\mathbb{R}}^d)\cap L^2({\mathbb{R}}^d)$，则 $\hat{f}\in L^2$，并有 Plancherel 等式

$$\Vert \hat{f}{\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2.$$

相应的内积形式是

$$⟨\hat{f},\hat{g}{⟩}_{L^2}=⟨f,g{⟩}_{L^2}.$$

由于 $L^1\cap L^2$ 在 $L^2$ 中稠密，Fourier 变换唯一延拓为 $L^2({\mathbb{R}}^d)$ 上的等距算子；结合逆变换，它是酉算子。证明通常先在 Schwartz 函数上完成换序与反演，再以稠密性和范数保持延拓，而不是假定一般 $L^2$ 函数的 Fourier 积分逐点收敛。

直觉 ​

Fourier 变换改变描述函数的坐标，却不改变总能量。时空域中分散的振荡被重新排列到频域，平方积分总量保持不变；两个函数之间的角度与相关关系也一并保存。因此频域不是近似或压缩后的次级视图，而是同一个 Hilbert 空间的酉坐标表示。

定理的关键还在“延拓”。$L^2$ 函数可能不可积，原始 Fourier 积分甚至没有逐点意义；但可用同时属于 $L^1$ 与 $L^2$ 的函数逼近它们，变换后的序列因等距性在 $L^2$ 中收敛，极限与逼近选择无关。这给出了严格而无需逐点公式的变换。

例子与边界 ​

Gaussian $e^{-\pi x^2}$ 同时属于 $L^1\cap L^2$ 且在本库归一化下变换为自身，范数保持可直接验证。更能体现定理边界的是一个属于 $L^2$ 但不属于 $L^1$ 的函数：其变换仍作为 $L^2$ 等价类存在，却不能直接由绝对收敛积分逐点定义。

Plancherel 不是点态收敛或逐点反演定理。$L^2$ 中两个函数只需几乎处处相等，因此其 Fourier 变换也只确定到零测集。它也不自动推出变换后连续或趋于零；这些性质来自 $L^1$ 假设。周期函数 Fourier 级数中的 Parseval 等式是离散频率的对应结果，但求和、积分与归一化不可混写。

推论与应用 ​

等距性允许在频域估计函数而不损失 $L^2$ 控制。微分算子的 $L^2$ 范数可转化为频率乘子的加权积分，成为 Sobolev 空间与线性偏微分方程的基础；卷积算子也可借助乘子界研究稳定性。

Fourier 变换公理库Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。先在 $L^1$ 上给出经典积分，Plancherel 将它扩展到平方可积的 Hilbert 空间。Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。中的能量分解与本定理共享正交投影视角，但前者频率离散、后者连续。

参考资料

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003，Ch. 1, Plancherel theorem。
• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，Ch. 8, $L^2$ Fourier transform and Plancherel theorem。