形式陈述

复数可定义为实数对 $(a,b)$$(a,b)$，加法逐坐标，乘法 $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$；记 $a+bi$$a+bi$，其中 $i^2=-1$$i^2=-1$。共轭为 $\bar z=a-bi$$\overline{z}=a-bi$，模为 $|z|=\sqrt{z\bar z}$$|z|=\sqrt{z\overline{z}}$。非零复数的逆为 $\bar z/|z|^2$$\overline{z}/|z{|}^2$，故 $\mathbb C$$\mathbb{C}$ 是域，但不存在与域运算兼容的全序。

直觉

复数把平面上的伸缩与旋转编码为乘法：模相乘，辐角相加。

例子与边界

$(1+i)^2=2i$$(1+i{)}^2=2i$，$1/i=-i$$1/i=-i$。极形式 $re^{i\theta}$$r{e}^{i\theta }$ 的辐角只在模 $2\pi$$2\pi$ 意义下确定；复对数因此多值或需选分支。把 $i$$i$ 当作“比实数更大”的数会与平方保持正性冲突。

推论与应用

复数用于多项式根、振荡、傅里叶分析、量子力学和复分析。

参考资料

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003，Chs. 1–3。
• John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., Springer, 1978，Chs. II–VI。