复数

把 $z=a+bi$ 看成平面向量时，加法是平移规则，乘以非零复数则是一次绕原点旋转再按模长缩放；这使二维几何运算被压缩进一个代数乘法。共轭把辐角取反，而 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 把几何长度重新变成实数。复数并非给实数轴补上一段“更大的数”，而是放弃与四则运算相容的全序，换取每个非零元素可除以及更完整的多项式求根环境。

$(1+i{)}^2=2i$，$1/i=-i$。极形式 $r{e}^{i\theta }$ 的辐角只在模 $2\pi$ 意义下确定；复对数因此多值或需选分支。把 $i$ 当作“比实数更大”的数会与平方保持正性冲突。

例如 $z^2=-4$ 在实数中无解，在复数中有 $z=\pm 2i$；而 $z^3=1$ 的三个根均匀分布在单位圆上，乘以其中一个根相当于旋转 $2\pi /3$。模长满足 $|zw|=|z||w|$，但辐角只能模 $2\pi$ 相加，所以写 $\arg (zw)=\arg z+\arg w$ 时必须说明所选分支。

从实数系公理库实数系Real number system · Ordered complete field满足序域公理与上确界完备性的数系。到复数的扩张保留了域公理库域Field非零元素在乘法下均可逆的交换环。运算，却改变了次序结构；随后复可微公理库复可微性Complex differentiability复差商在任意方向趋近时有同一极限的性质。把“所有方向的差商一致”变成强刚性条件，并在全纯函数与幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。之间建立远强于实分析的联系。有限维实矩阵的成对复特征值也说明，复数常是理解实线性系统最自然的坐标语言；Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。正是在复数域上把任意方阵酉相似为上三角形。

在振荡与波动问题中，$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 又把相位变化化成复指数的乘法，因此 Fourier 分析可以把复杂信号拆成不同频率的旋转分量。von Neumann 分析公理库von Neumann 稳定性分析von Neumann stability analysis · Fourier stability analysis · Amplification factor analysis用离散 Fourier 模态计算常系数规则网格格式的放大符号，并由全部频率的幂界判断有限时间稳定性。用这些复模态表示网格误差的放大与相位，而绝对稳定域公理库ODE 方法的绝对稳定域Absolute stability region · Region of absolute stability · A-stability以标量衰减测试方程的放大因子定义一步法稳定域，并区分 A-stability、L-stability、精度与其他稳定概念。把 $h\lambda$ 放在复平面中判断时间步进的衰减范围；量子力学中的相位与叠加也使用同一套复线性语言。