形式陈述

写 $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$。若 $f$ 在一点复可微，则

$$u_x=v_y,u_y=-v_x.$$

反之，若这些偏导在一点邻域存在、连续且满足方程，则 $f$ 在该邻域全纯。更一般的充分条件可以弱化，但“仅在一点满足方程”并不足够。

直觉

沿实轴与虚轴计算同一个复导数必须得到一致结果，迫使实 Jacobian 成为“旋转加等比例伸缩”的矩阵。

例子与边界

$f(z)=z^2$ 满足方程；$f(z)=\bar{z}$ 不满足。存在偏导但正则性不足的函数，可在一点满足方程却仍不可复微。

推论与应用

它连接全纯性、调和函数、共形映射和二维势场。

参考资料

• Juan Carlos Ponce Campuzano, Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction (2026), Cauchy–Riemann equations.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis (2003), Cauchy–Riemann theory.