全纯函数

复差商允许增量从平面任意方向趋零，要求所有方向给出同一复线性比例；这比二维实可微多出一个旋转相容条件。局部复可微一旦在开集上成立，Cauchy 理论会自动推出无限次可微、幂级数展开与强唯一性。所谓“刚性”正来自局部平均值和边界积分能够控制内部全部信息。

多项式和指数函数都是整函数；$1/z$ 在 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 全纯，因分母为零而不能按同一公式扩到原点。

对 $f(z)=z^2$，

与 $h$ 的方向无关。对 $f(z)=\bar{z}$，沿实轴增量差商为 $1$，沿虚轴则为 $-1$，故任何点都不复可微。还有一个更细的反例：$g(z)=|z{|}^2$ 在原点的差商为 $\bar{h}\to 0$，所以 $g^{\prime }(0)=0$。但写成 $u=x^2+y^2,v=0$ 后，Cauchy–Riemann 方程要求 $2x=0$ 且 $2y=0$，故其他任何点都不复可微。原点可微仍没有提供一个全纯邻域。

判断时可使用Cauchy–Riemann 判据理路Cauchy–Riemann 方程Cauchy–Riemann equations把复可微性转化为实部和虚部偏导之间的兼容条件。的明确充分条件：若 $u,v$ 在开集上具有连续一阶偏导，并处处满足 $u_x=v_y,u_y=-v_x$，则 $u+iv$ 全纯。若只有单点偏导存在及等式成立，不能省去实可微性条件。

全纯性建立在复可微理路复可微性Complex differentiability复差商在任意方向趋近时有同一极限的性质。之上，并由Cauchy–Riemann 方程理路Cauchy–Riemann 方程Cauchy–Riemann equations把复可微性转化为实部和虚部偏导之间的兼容条件。联系二维实偏导。Cauchy 积分公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。把边界值转成内部导数，进而说明全纯函数局部等于幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。留数、解析延拓与调和函数都沿这条链展开。

例如在 $|z|<1$ 上，$1/(1-z)=\sum _{n\ge 0}{z}^n$；以 $0$ 为中心的展开半径止于距离为 $1$ 的奇点 $z=1$。局部全纯并不保证一个以固定中心展开的级数覆盖整个定义域。若定义域在中心留下一个洞，Laurent 定理理路Laurent 级数Laurent series · 洛朗级数全纯函数在指定环域上有唯一的双边幂级数展开，其系数由环域内圆周积分确定。提供指定环域上的双边展开；它的负幂记录了普通 Taylor 级数无法表示的部分。

最大模原理进一步说明，在连通开集上非恒定全纯函数的模不能于内部取得局部最大值；内部行为受边界约束，是复分析刚性最醒目的表现之一。

当定义域和目标都固定为单位圆盘时，Schwarz–Pick定理理路Schwarz–Pick收缩与取等刚性Schwarz–Pick theorem · Schwarz lemma · 施瓦茨–皮克定理证明圆盘全纯自映射的二点与导数收缩，刻画何时取等，并把两点插值化为可构造或可排除的不等式证书。将这种刚性写成二点和导数的精确收缩。两个不同输入的一次取等就迫使整个映射是圆盘自同构；给定两组输入输出时，同一不等式还能给出显式构造或不可能证书。它控制的是圆盘尺度，普通Euclidean导数并非总小于一。

整函数也可以从零点表反向构造。Weierstrass分解理路Weierstrass 整函数零点分解Weierstrass factorization theorem · Weierstrass product theorem · Weierstrass整函数分解用初等因子取消发散的低阶对数项，为任意离散零点及重数构造整函数，证明同零点函数只差整指数，并以cot对数导数识别正弦乘积。用初等因子为任意无有限聚点的零列安排准确重数，同时留下整指数的自由度；收敛由正常全纯乘积理路全纯函数的正常无穷乘积Holomorphic infinite product · 全纯无穷乘积 · 正常收敛乘积用紧集可求和的小扰动构造全纯乘积，证明尾积非零、准确零点重数及对数导数，并给可直接代入的统一截断界。的紧集尾界保证。它补充的是全局构造，不是从局部Taylor展开直接断言任意线性因子乘积都收敛。

复解析延拓范围会直接决定实轴上的数值逼近速度。解析函数的谱收敛理路解析函数的谱收敛Spectral convergence for analytic functions用复解析延拓范围定量控制 Fourier 与 Chebyshev 系数衰减，并展示最近极点的作用。通过移动 Fourier 积分路径和 Chebyshev 的圆环表示，说明离实区间最近的复奇点怎样控制系数衰减。