形式陈述

函数 $f:U\to \mathbb{C}$ 在开集 $U$ 上全纯，若对每个 $z\in U$，极限

$$f^{\prime }(z)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$

存在，并且与复增量 $h$ 的趋近方向无关。Cauchy 理论进一步推出：全纯函数自动具有任意阶导数，并在每点邻域等于其幂级数。

直觉

复增量可以从平面上所有方向趋近，方向一致性远强于一元实可微，因此产生异常强的刚性。

例子与边界

多项式、指数函数处处全纯；$f(z)=\bar{z}$ 在任何点都不复可微。只在单个点复可微不等于在邻域全纯。

推论与应用

它是 Cauchy 理论、解析延拓、最大模原理、调和函数和留数理论的统一对象。

参考资料

• Juan Carlos Ponce Campuzano, Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction (2026), holomorphic functions.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis (2003), holomorphicity.