全纯函数

复差商允许增量从平面任意方向趋零，要求所有方向给出同一复线性比例；这比二维实可微多出一个旋转相容条件。局部复可微一旦在开集上成立，Cauchy 理论会自动推出无限次可微、幂级数展开与强唯一性。所谓“刚性”正来自局部平均值和边界积分能够控制内部全部信息。

多项式、指数函数处处全纯；$f(z)=\bar{z}$ 在任何点都不复可微。只在单个点复可微不等于在邻域全纯。

对 $f(z)=z^2$，

与 $h$ 的方向无关。对 $f(z)=\bar{z}$，沿实轴增量差商为 $1$，沿虚轴则为 $-1$，故任何点都不复可微。只验证 Cauchy–Riemann 方程在单点成立还不够；还需适当正则性或邻域信息才能推出全纯。

全纯性建立在复可微公理库复可微性Complex differentiability复差商在任意方向趋近时有同一极限的性质。之上，并由Cauchy–Riemann 方程公理库Cauchy–Riemann 方程Cauchy–Riemann equations把复可微性转化为实部和虚部偏导之间的兼容条件。联系二维实偏导。Cauchy 积分公式公理库Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。把边界值转成内部导数，进而说明全纯函数局部等于幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。留数、解析延拓与调和函数都沿这条链展开。

最大模原理进一步说明，非恒定全纯函数的模不能在区域内部取得真正最大值；内部行为受边界约束，是复分析刚性最醒目的表现之一。