形式陈述

对分段 $C^1$ 路径 $\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$ 与路径像上的连续函数 $f$，定义

$${\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_a^{b}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt.$$

保持方向的正则重参数化不改变积分；反向路径使积分变号；路径拼接使积分相加。

直觉

每个微小位移 $dz$ 同时携带方向，函数值按路径切向量加权累积。

例子与边界

若 $f=F^{\prime }$，则积分只依赖端点。闭路上 $\int dz/z=2\pi i$ 表明有孔区域中积分可以检测绕行；路径穿过奇点时积分通常无定义。

推论与应用

它是 Cauchy 定理、绕数、留数和复积分计算的直接基础。

参考资料

• Juan Carlos Ponce Campuzano, Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction (2026), complex integration.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis (2003), contour integrals.