复路径积分

把路径切成小段，积分近似为 $\sum f(z_k)\mathrm{\Delta }{z}_k$：每个位移 $\mathrm{\Delta }{z}_k$ 不只是长度，还携带方向，而与 $f(z_k)$ 的乘法是复数公理库复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。乘法——旋转加伸缩。因此复路径积分不是"曲线下面积"，而是函数值按路径切向量加权后的累积，方向信息被原封不动地记进结果里。这解释了两个初看奇怪的现象：同样的两个端点，不同路径可以给出不同积分值；同一条闭路，函数绕奇点转一圈可以留下非零"残迹"。与实线积分的类比在此失效的地方正是乘法：实数乘法只缩放，复数乘法还旋转，抵消与累积的模式因此丰富得多。

若 $f$ 在包含路径的区域上有原函数 $F$（即 $F^{\prime }=f$），则由链式法则与微积分基本定理，

积分只依赖端点。例如任取从 $0$ 到 $1+i$ 的路径，${\int }_{\gamma }zdz=\frac{(1+i{)}^2}{2}=i$。

最重要的具体计算是单位圆 $\gamma (t)=e^{it}$，$t\in [0,2\pi ]$ 上的

闭路上积分不为零，说明 $1/z$ 在挖去原点的平面上没有单值原函数；这个非零值恰好在"数"路径绕原点的圈数，是有孔区域中积分能检测绕行的原型。

边界情形有两类。其一，被积函数不解析时积分依赖路径：对 $f(z)=\overline{z}$，从 $0$ 沿直线到 $1+i$ 积分得 $1$，而先到 $1$ 再上行到 $1+i$ 积分得 $1+i$，两者不同。其二，路径穿过 $f$ 的奇点时积分通常根本无定义；绕过奇点的方式（从哪一侧、绕几圈）则会改变结果，这正是留数计算中缩进路径与主值积分要小心处理的地方。

复路径积分是整个复积分理论的载体：Cauchy 积分定理与积分公式公理库Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。断言全纯函数公理库全纯函数Holomorphic function · Analytic function在复平面开集的每一点都复可微的函数。沿可收缩闭路的积分为零、且函数值可由边界积分重构；由此导出全纯函数自动无穷次可微并展开为幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。上面 $\int dz/z=2\pi i$ 的计算推广为绕数与留数定理公理库留数定理Residue theorem闭曲线积分等于曲线内部各孤立奇点留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。，成为计算实积分、反演变换与计数零点极点的标准工具。绕数对路径连续变形不变这一事实，也把复积分与区域的基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。联系起来：积分能"看见"区域的洞。