形式陈述

若 $f$ 在单连通域 $U$ 上全纯，则任意闭路径 $\gamma$ 有

$${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$$

若简单正向闭曲线 $\gamma$ 围住 $z_0$，且 $f$ 在曲线及内部全纯，则

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-z_0}dz.$$

对核求导可得到所有高阶导数公式。

直觉

全纯函数的内部值并非自由变化；边界值通过 Cauchy 核完整编码内部。

例子与边界

区域有孔时任意闭路积分未必为零，必须要求路径可缩或使用同伦/绕数版本。公式要求 $z_0$ 位于围道内部且函数在内部无奇点。

推论与应用

它推出全纯函数解析性、Liouville 定理、最大模原理、均值性质和解析延拓唯一性。

参考资料

• Juan Carlos Ponce Campuzano, Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction (2026), Cauchy theorem and formula.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis (2003), Cauchy integral theory.