Cauchy 积分定理与公式

实函数在区域内部的取值与边界值几乎互不相干，全纯性彻底改变了这一点：复可微是极强的刚性条件，它把函数各处的局部信息互相锁定。积分定理说的是全纯函数的围道积分只依赖路径的同伦类——把路径在全纯区域内连续变形，积分纹丝不动，可缩的路径于是给出零。积分公式更进一步：边界值经 Cauchy 核 $1/(z-z_0)$ 加权平均，就能完整重建内部每一点的值乃至全部导数。可以把 $\gamma$ 想成一圈探测器：对全纯函数，绕行一周的读数要么为零（定理），要么恰好报出被围点的函数值（公式）。求导公式还揭示：复可微一次就自动无穷次可微，这与实函数世界的经验完全相反。

最基本的计算是 ${\int }_{|z|=1}{z}^{n}dz$（$n$ 取整数）：除 $n=-1$ 外全为零，而参数化 $z=e^{it}$ 立得

$1/z$ 在 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上处处全纯，但这个区域不是单连通的：单位圆绕住了洞，不可缩，定理不适用。这个非零积分恰好"量出"了洞的存在，是绕数与留数理论的种子。

假设逐条都咬得很紧。全纯性不可少：$f(z)=\overline{z}$ 处处连续却无处全纯，${\int }_{|z|=1}\overline{z}dz={\int }_0^{2\pi }{e}^{-it}\cdot i{e}^{it}dt=2\pi i\ne 0$。公式一侧则要求 $z_0$ 位于围道内部：若 $z_0$ 在外部，被积函数在围道内全纯，由定理积分为零，而不是 $f(z_0)$。取 $f\equiv 1$、$z_0=0$ 验算公式，正好还原出上面 $2\pi i$ 的基本积分。多连通区域上的正确框架是同伦（或绕数）版本：闭路积分由路径绕各个洞的圈数决定。

这两条结果是单复变理论的枢纽。由高阶导数公式，全纯函数在每点附近可展成收敛的幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。（全纯等于解析），随之而来的是零点孤立性与解析延拓的唯一性；把公式用在半径为 $r$、边界最大模为 $M$ 的圆上，得 Cauchy 估计 $|f^{(n)}(z_0)|\le n!M/r^n$，它直接推出 Liouville 定理（有界整函数必为常数），后者又给出代数基本定理的经典证明。公式在 $n=0$ 的形态就是均值性质，最大模原理由此而来。把"围道积分只由所围奇点决定"的思想系统化，便得到留数定理公理库留数定理Residue theorem闭曲线积分等于曲线内部各孤立奇点留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。，把大量实积分与变换反演化归为代数计算。