奇点分析

方法的核心是把 Cauchy 圆变形成围住主导奇点的钥匙孔轮廓。远离奇点的轮廓段因模更大而指数较小，主要积分集中在离 $\rho$ 约 $1/n$ 的邻域。缩放 $z=\rho (1+t/n)$ 后，局部幂变成 Hankel 积分，而 $1/\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ 正是那条积分的常数。

$\mathrm{\Delta }$-域不是技术装饰。它提供从奇点两侧绕行的空间，并排除函数在紧贴主导点外侧藏有额外奇点。若只知道 $z\uparrow \rho$ 时的实数渐近，复平面其他方向的剧烈行为仍可能改变系数。

Catalan 生成函数

在 $\rho =1/4$ 附近令 $X=1-4z$，有

奇异项是 $-2(1-4z{)}^{1/2}$。由于

转移得到

与 Catalan 数的 Stirling 渐近一致。常数、指数尺度和 $n^{-3/2}$ 都从局部展开逐项得到。

展开中的 $2$ 与 $2X$ 都是 $z$ 的一次多项式，对 $n>1$ 不再贡献系数；真正控制尾部的是首个非整数幂 $X^{1/2}$。若所谓“正则项”只在局部解析、却不能继续越过其他主导点，则仍须保留它的全局影响，不能仅凭外观看起来光滑就删去。

若 $\alpha$ 是非正整数，$\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ 有极点，而 $(1-z{)}^{-\alpha }$ 是多项式并最终没有系数；不能把 $1/\mathrm{\Gamma }(\alpha )=0$ 当成普遍主项而忽略可能存在的对数因子。形如 $(1-z{)}^m\log (1/(1-z))$ 的项需要专门的对数转移公式。

若圆周上有多个主导奇点，应分别建立局部展开并把贡献相加；周期性会产生根单位振荡。若函数具有本性奇点、自然边界，或主要贡献来自随 $n$ 移动的点，则应改用鞍点法公理库鞍点法Saddle-point method · Method of steepest descent选择穿过相位驻点的系数积分轮廓，以局部高斯积分提取主项并控制远离驻点部分的渐近方法。、圆法或其他工具。

解析组合的转移定理公理库解析组合学的转移定理Transfer theorem in analytic combinatorics · Flajolet–Odlyzko transfer theorem在 Δ 解析延拓与余项控制下，把生成函数的局部幂对数奇性转成带精确常数的系数渐近。把标准幂—对数尺度及其误差界整理成可重复使用的规则。结合符号方法，代数型树规格常产生平方根奇点和通用的 ${\rho }^{-n}{n}^{-3/2}$ 行为；对数奇点常对应循环，极点则常对应有限状态或有理结构。

完整工作流是：先定位全部主导点，再证明 $\mathrm{\Delta }$-解析延拓，求局部展开，最后逐项转移并控制余项。任一步缺失都可能得到正确外形却错误常数，或在周期剩余类上给出根本不成立的统一渐近。