解析组合学的转移定理

“转移”不是把 $z$ 随手换成 $n$，而是把一族已经算清的局部模型当作字典。由Cauchy 系数公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。得到的围道被压到距离 $\rho$ 约 $1/n$ 的区域后，取尺度变换 $z=\rho (1-u/n)$，局部幂变为 $n^{\alpha }{u}^{-\alpha }$，系数核给出 $e^u$；计入微分和相应取向后，标准 Hankel 积分 $(2\pi i{)}^{-1}{\int }_{\mathcal{H}}{e}^u{u}^{-\alpha }du=1/\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ 给出常数。这里的幂分支与从 $1-z/\rho$ 继承的分支一致，不能在改用 $z=\rho (1+t/n)$ 时把 $(-t{)}^{-\alpha }$ 擅自换成 $t^{-\alpha }$。因此 $\rho$ 决定指数因子 ${\rho }^{-n}$，奇性指数决定 $n^{\alpha -1}$，局部振幅 $c_j$ 决定常数。

$\mathrm{\Delta }$-解析和一致余项是定理能够逐项工作的理由。只知道实轴上 $A(z)\sim c(1-z/\rho {)}^{-\alpha }$，无法排除函数在复方向出现尖峰；只写出前几项而不控制余项，也无法保证被省略部分的系数更小。

取

广义二项式展开给出 $[z^n]A(z)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$。这里 $\rho =1/4$、$\alpha =1/2$，且 $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$，所以转移公式直接得到

这不仅给出增长阶，还正确恢复首个修正项；它与对阶乘使用 Stirling 展开的结果一致。

单一主导点的假设不可暗中省略。对

而言，$1$ 与 $-1$ 都是主导奇点。两点的局部贡献相加后表现为奇偶分离：

只转移 $z=1$ 附近的一项，会得到错误的非零奇数系数。周期结构应列出全部同模奇点，再按相位 ${\rho }_j^{-n}$ 求和；主项抵消时须分别陈述各剩余类。

当 $\alpha$ 是非正整数时，纯幂可能只是多项式，Gamma 分母的零点提示首项已经消失；若同时出现对数，必须使用相应的对数转移式。自然边界、本性奇点以及随 $n$ 移动的贡献区也不属于这套固定代数奇点字典。

若 $G$ 在 $\rho$ 附近解析，先把 $G(z)$ 作 Taylor 展开再乘到奇异尺度上，便能系统地产生任意阶系数渐近。代数生成函数常在隐式方程的临界点形成平方根展开，于是大量树类共享 $c{\rho }^{-n}{n}^{-3/2}$ 的形状；有理函数的极点则给出指数乘多项式。

多元生成函数理路多元生成函数Multivariate generating function · Multivariable generating function用多个形式变量同时记录组合对象的大小与参数，并按方向提取联合系数的生成函数。若可压成一元对角线，有时也能使用本定理。当贡献点随 $n$ 移动或没有可隔离的主导奇点时，应改用鞍点法理路鞍点法Saddle-point method · Method of steepest descent选择穿过相位驻点的系数积分轮廓，以局部高斯积分提取主项并控制远离驻点部分的渐近方法。；转移定理并非无条件代换法。