鞍点法

系数积分中的 $A(z)$ 希望轮廓靠近增长快的区域，而 $z^{-n}$ 又惩罚过大的半径。方程 $r{A}^{\prime }(r)/A(r)=n$ 正是两种趋势达到平衡的位置。沿径向看它常像最低点，沿角向看却是相位的最高贡献点，因此得名“鞍点”。

在驻点附近，相位的一次变化消失，二次项成为首要变化；合适的下降路径把它变成负实二次型，于是很小的一段轮廓近似钟形曲线。宽度约为 $b(r_n{)}^{-1/2}$，这解释了分母中的平方根。寻找驻点只是代数步骤，证明轮廓其他部分没有同量级峰值才是分析步骤。

对整函数 $A(z)=e^z$，有 $[z^n]A(z)=1/n!$。此时

所以鞍点是 $r_n=n$。公式给出

等价地

这里没有有限的主导奇点可供局部转移；贡献半径随 $n$ 向外移动，恰好展示了鞍点法不同于固定奇点分析的工作方式。把 $z=n{e}^{i\theta }$ 代入时，实部满足 $n\cos \theta -n=-n{\theta }^2/2+O(n{\theta }^4)$，主弧宽度因此是 $n^{-1/2}$，高斯常数 $\sqrt{2\pi n}$ 并非凭经验补上。可具体取 ${\delta }_n=n^{-2/5}$：完整复相位的余项为 $O(n|\theta {|}^3)$，在主弧上一致趋零，且 ${\delta }_n\sqrt{n}=n^{1/10}\to \mathrm{\infty }$。主弧外用 $1-\cos \theta \ge 2{\theta }^2/{\pi }^2$（$|\theta |\le \pi$）控制模长，尾积分至多 $2\pi e^{-2n{\delta }_n^2/{\pi }^2}=o(n^{-1/2})$。这逐项核对了公式需要的局部与远弧条件。

驻点未必唯一。若几个驻点的实部同样大，必须保留全部贡献及其相位，遗漏一个就可能错过振荡或完全抵消。若二阶导数也为零，高斯尺度失效，合并驻点常产生 Airy 型而非平方根常数。含负系数的函数可能没有合适的正实解；有极点或支割时，轮廓变形还不得穿越未知奇点。

鞍点法适合整函数、Euler 乘积、大幂 $A(z{)}^m$、大参数积分以及某些多变量系数。对概率生成函数，它还把局部二次展开与中心极限定律中的方差联系起来；在多变量情形，标量 $b(r_n)$ 被限制在切空间上的 Hessian 行列式取代。

奇点分析理路奇点分析Singularity analysis · Singularity analysis of generating functions通过 Δ-域解析延拓与 Cauchy 围道，把主导奇点的局部展开转为系数渐近，并控制常数、误差与周期贡献。通常围绕固定边界奇点建立局部模型，鞍点法则让最优轮廓随系数指标移动。两者不是互斥算法：鞍点可能逼近奇点，统一渐近需要同时处理驻点与奇性的相互作用。Hardy–Ramanujan 分拆渐近公式理路Hardy–Ramanujan 分拆渐近公式Hardy–Ramanujan partition asymptotic · Hardy–Ramanujan formula无约束整数分拆数的首项渐近：指数尺度由鞍点平衡决定，常数前因子来自乘积振幅与高斯积分宽度。便在 Euler 乘积靠近单位圆时结合鞍点尺度与圆法的主弧、次弧控制。