鞍点法

系数积分中的 $A(z)$ 希望轮廓靠近增长快的区域，而 $z^{-n}$ 又惩罚过大的半径。方程 $r{A}^{\prime }(r)/A(r)=n$ 正是两种趋势达到平衡的位置。沿径向看它常像最低点，沿角向看却是相位的最高贡献点，因此得名“鞍点”。

在驻点附近，相位的一次变化消失，二次项成为首要变化；合适的下降路径把它变成负实二次型，于是很小的一段轮廓近似钟形曲线。宽度约为 $b(r_n{)}^{-1/2}$，这解释了分母中的平方根。寻找驻点只是代数步骤，证明轮廓其他部分没有同量级峰值才是分析步骤。

对整函数 $A(z)=e^z$，有 $[z^n]A(z)=1/n!$。此时

所以鞍点是 $r_n=n$。公式给出

等价地

这里没有有限的主导奇点可供局部转移；贡献半径随 $n$ 向外移动，恰好展示了鞍点法不同于固定奇点分析的工作方式。把 $z=n{e}^{i\theta }$ 代入时，实部满足 $n\cos \theta -n=-n{\theta }^2/2+O(n{\theta }^4)$，主弧宽度因此是 $n^{-1/2}$，高斯常数 $\sqrt{2\pi n}$ 并非凭经验补上。

驻点未必唯一。若几个驻点的实部同样大，必须保留全部贡献及其相位，遗漏一个就可能错过振荡或完全抵消。若二阶导数也为零，高斯尺度失效，合并驻点常产生 Airy 型而非平方根常数。含负系数的函数可能没有合适的正实解；有极点或支割时，轮廓变形还不得穿越未知奇点。

鞍点法适合整函数、Euler 乘积、大幂 $A(z{)}^m$、大参数积分以及某些多变量系数。对概率生成函数，它还把局部二次展开与中心极限定律中的方差联系起来；在多变量情形，标量 $b(r_n)$ 被限制在切空间上的 Hessian 行列式取代。

奇点分析公理库奇点分析Singularity analysis · Singularity analysis of generating functions在带缺口的复邻域内把主导奇点的局部幂对数展开逐项转移为生成函数系数渐近。通常围绕固定边界奇点建立局部模型，鞍点法则让最优轮廓随系数指标移动。两者不是互斥算法：鞍点可能逼近奇点，统一渐近需要同时处理驻点与奇性的相互作用。Hardy–Ramanujan 分拆渐近公式公理库Hardy–Ramanujan 分拆渐近公式Hardy–Ramanujan partition asymptotic · Hardy–Ramanujan formula给出整数无序分拆数的精确首阶指数增长、幂次与常数，并展示圆法如何控制单位圆上的多重奇性。便在 Euler 乘积靠近单位圆时结合鞍点尺度与圆法的主弧、次弧控制。