Hardy–Ramanujan 分拆渐近公式

形式陈述

令 $p(n)$ 表示正整数 $n$ 的无序分拆数，并约定 $p(0)=1$ 。Hardy–Ramanujan 定理断言

p(n)\sim \frac1{4n\sqrt3} \exp\!\left(\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}\right) \qquad(n\to\infty).

这里的渐近等价同时确定三个层次： $\pi\sqrt{2n/3}$ 是对数尺度， $n^{-1}$ 是幂次修正， $1/(4\sqrt3)$ 是不可由增长率猜出的常数。它来源于 Euler 乘积

P(q)=\sum_{n\ge0}p(n)q^n =\prod_{m\ge1}\frac1{1-q^m}, \qquad |q|<1.

令 $q=e^{-t}$ 。Dedekind $\eta$ 函数的模变换给出当 $t\to0$ 且位于受控复扇区时

P(e^{-t}) \sim\sqrt{\frac{t}{2\pi}} \exp\!\left(\frac{\pi^2}{6t}-\frac t{24}\right).

这条靠近 $q=1$ 的局部公式提供主弧模型；圆法还必须证明其余弧段与其他单位根附近的贡献不会改变首项。

直觉

分拆允许任意多个大小为 $m$ 的部分，因此每个 $m$ 贡献几何级数 $(1-q^m)^{-1}$ 。当 $q$ 接近 $1$ 时，大量因子同时变大，有限阶极点的转移字典不再适用。把 $q$ 写成 $e^{-t}$ 后，乘积的集体增长压缩成指数 $\pi^2/(6t)$ ；提取第 $n$ 个系数又带来 $e^{n t}$ ，两者在某个随 $n$ 移动的位置平衡。

主指数相位为

\Phi(t)=nt+\frac{\pi^2}{6t}.

驻点方程 $\Phi'(t)=0$ 给出

t_0=\frac{\pi}{\sqrt{6n}}, \qquad \Phi(t_0)=\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}.

这立即解释公式里看似神秘的平方根指数。局部高斯积分再与前因子 $\sqrt{t/(2\pi)}$ 合并，才产生 $1/(4n\sqrt3)$ 。

例子与边界

把 Cauchy 围道取在 $|q|=e^{-t_0}$ ，并在 $q=1$ 的主弧写 $t=t_0+iy$ 。二阶导数为

\Phi''(t_0)=\frac{\pi^2}{3t_0^3} =\frac{2\sqrt6}{\pi}n^{3/2}.

沿虚方向的指数变化是 $-\Phi''(t_0)y^2/2$ 。于是主弧的高斯计算为

\frac1{2\pi} \sqrt{\frac{t_0}{2\pi}} e^{\Phi(t_0)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\Phi''(t_0)y^2/2}\,dy =\frac{e^{\Phi(t_0)}}{4n\sqrt3},

恰好恢复定理常数。对 $n=100$ ，精确值为 $p(100)=190\,569\,292$ ，首项给出约 $199\,280\,893$ ；误差仍清楚可见，但相对误差会随 $n$ 增长而趋于零。

仅沿正实轴知道 $P(e^{-t})$ 的渐近还不足以证明系数公式。单位圆上的每个单位根都与某些因子 $1-q^m$ 的零点相遇，必须把圆周切成主弧和次弧，并统一控制复相位。若只做正实鞍点计算而略去次弧估计，可能得到正确候选常数，却尚未得到定理。

本公式只针对不限制部分大小与重数的普通分拆。互异部分分拆、限制部件数、平面分拆等对象拥有不同乘积与不同指数常数；不能通过替换 $n$ 或照搬前因子得到它们的渐近。对小 $n$ ，渐近式也不是取整后必然精确的算法。

推论与应用

定理表明

\log p(n)=\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}-\log n-\log(4\sqrt3)+o(1),

所以 $p(n)$ 比任意多项式增长更快，却比任意固定 $c>1$ 的指数 $c^n$ 增长更慢。这个中间尺度是 Euler 乘积在单位圆附近积累无穷多个奇性的直接反映。

Hardy 与 Ramanujan 的圆法还产生渐近展开；Rademacher 随后把各阶单位根附近的贡献组织成绝对收敛的精确级数。方法上的关键遗产，是把局部模变换、随 $n$ 移动的鞍点和全圆周误差控制放进同一个证明，而不是把生成函数在 $q=1$ 的发散单独当作答案。

参考资料

G. H. Hardy and S. Ramanujan, “Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis,” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 17, 1918, pp. 75–115。
Hans Rademacher, “On the Partition Function p(n),” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 43, 1938, pp. 241–254。
George E. Andrews and Kimmo Eriksson, Integer Partitions, Cambridge University Press, 2004, Chapters 5–6。
Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990, Chapters 3–5。

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述